С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти высоту ромба по известным элементам. Для нахождения высоты ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку "Вычислить". Теоретическую часть смотрите ниже.
Пусть задан ромб (Рис.1).
 |
Формула площади ромба через сторону и высоту имеет следующий вид:
| \(\small S=a \cdot h.\) |
Откуда легко вывести формулу высоты ромба через сторону и площадь:
| \(\small h=\frac{\large S}{\large a}.\) |
Рассмотрим ромб со стороной a и углом α между сторонами (Рис.2). Выведем формулу вычисления высоты ромба через сторону и угол.
 |
Проведем высоту AH. Для прямоугольного треугольника AHB применим теорему синусов:
| \(\small \frac{\large a}{\large \sin 90°}=\frac{\large h}{\large \sin \alpha}.\) | (1) |
Откуда получим формулу вычисления высоты ромба через сторону и угол между сторонами:
| \(\small h=a \ \cdot \ \sin \alpha.\) | (2) |
Заметим, что формула (2) справедлива для любого угла ромба, как для острого, так и для тупого угла. Действительно. Из четвертого свойста ромба (см. статью Ромб) следует, что сумма соседних углов ромба равна 180°. Тогда для угла C можно записать: \(\small \angle C=180°-\alpha.\) Следовательно \(\small \sin \angle C=\sin(180°-\alpha)=\sin \alpha.\) Получили, что синусы углов ромба равны. Поэтому в качестве угла между сторонами ромба можно выбрать любой угол ромба.
Выведем формулу вычисления высоты ромба через диагонали. Плошадь ромба через диагонали вычисляется формулой (см. статью Площадь ромба):
| \(\small S= \frac{\large d_1d_2}{\large 2},\) | (3) |
а через сторону и высоту, формулой
| \(\small S= a \cdot h.\) | (4) |
Из формул (3) и (4) следует:
| \(\small \frac{\large d_1d_2}{\large 2}=a \cdot h.\) | (5) |
Выразим сторону a ромба через диагонали. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения (свойства 5 и 6 ромба), то диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника (Рис.3).
 |
Применим к прямоугольному треугольнику AOB теорему Пифагора:
| \(\small a^2= \left( \frac{\large d_1}{\large 2} \right)^2+\left( \frac{\large d_2}{\large 2} \right)^2.\) | (6) |
Откуда:
| \(\small a= \frac{\sqrt{\large d_1^2+d_2^2}}{\large 2} \) | (7) |
Подставим (7) в (5) и найдем h:
| \(\small \frac{\large d_1d_2}{\large 2}=\frac{\sqrt{\large d_1^2+d_2^2}}{\large 2} \cdot h,\) |
| \(\small h= \frac{\large d_1d_2}{\sqrt{\large d_1^2+d_2^2} }.\) | (8) |
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и противолежащая диагональ d=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления высоты ромба.
 |
Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено выше, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника AOB:
| \(\small \frac{\large a}{\large \sin 90°}=\frac{\large \frac{d}{2}}{\large \sin \frac{\alpha}{2}}.\) |
Откуда получим:
| \(\small a=\frac{\large d}{\large 2 \ \cdot \ \sin \frac{ \alpha}{ 2}}.\) | (9) |
С другой стороны (см. параграф 2):
| \(\small h=a \ \cdot \ \sin \alpha.\) | (10) |
Подставим (9) в (10):
| \(\small h=\frac{\large d \ \cdot \ \sin \alpha}{\large 2 \ \cdot \ \sin \frac{\large \alpha}{\large 2}}.\) | (11) |
Применяя формулу двойного угла для \(\small \sin \alpha, \) имеем: \(\small \sin \alpha=2 \cdot \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2} . \) Подставляя это равенство в формулу (11), получим формулу высоты ромба через угол и противолежащую диагональ:
| \(\small h=d \ \cdot \ \cos \frac{\large \alpha}{\large 2}.\) | (12) |
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и диагональ из данного угла d=BD (Рис.5). Выведем формулу вычисления высоты ромба.
 |
Проведем другой диагональ AC. Как было отмечено в выше, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Для прямоугольного треугольника AOB, имеем:
| \(\small \frac{\large OB }{\large a} =\cos \angle ABO.\) | (13) |
Учитывая, что \( \small BO=\frac{\large d}{\large 2}\) и \( \small \angle ABO=\frac{\large \alpha}{\large 2}\), формулу (13) можно записать так:
| \(\small \frac{ \large \frac{\large d }{\large 2} }{\large a}= \cos \frac{\large \alpha}{\large 2} .\) |
или
| \(\small a=\frac{\large d}{\large 2 \ \cdot \ \cos \large \frac{ \alpha}{ 2}}.\) | (14) |
Подставим (14) в (2):
| \(\small h= \frac{\large d \ \cdot \ \sin \alpha }{\large 2\ \cdot \ cos \frac{\large \alpha}{\large 2}} .\) |
или, учитывая что \(\small \sin \alpha=2 \cdot \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2} , \) получим:
| \(\small h= d \cdot \sin \frac{\large \alpha}{\large 2}.\) | (15) |
Покажем, что высота ромба через радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:
| \( \small h=2\cdot r.\) |
В статье Площадь ромба показали, что площадь ромба через сторону и высоту вычисляется формулой
| \(\small S= a \cdot h.\) | (16) |
а площадь ромба через сторону и радиус вписанной окружности − формулой:
| \( \small S=2\cdot a\cdot r. \) | (17) |
Тогда из формул (16) и (17) следует:
| \( \small a \cdot h=2\cdot a\cdot r\) |
или:
| \( \small h=2\cdot r.\) |