С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку "Вычислить". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).
 |
Можно дать и другое определение прямоугольника.
Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.
Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.
Кроме этого:
Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.
Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.
Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.
 |
На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.
Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:
 |
или
 . |
(1) |
Из равенства (1) найдем d:
 . |
(2) |
Пример 1. Стороны прямоугольника равны 
. Найти диагональ прямоугольника.
Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя в (2), получим:
 |
Ответ: 
Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):
 |
Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.
Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть
| \( \small R=\frac{\large d}{\large 2} \) | (3) |
Подставляя (3) в (2), получим:
| \( \small R=\frac{\large \sqrt{a^2+b^2}}{\large 2} \) | (4) |
Пример 2. Стороны прямоугольника равны 
. Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя в (4), получим:
 |
 |
Ответ: 
Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.
Периметр прямоугольника вычисляется формулой:
 |
(5) |
где \( \small a \) и \( \small b \) − стороны прямоугольника.
Пример 3. Стороны прямоугольника равны . Найти периметр прямоугольника.
Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя в (5), получим:
 |
Ответ: 
Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ \( \small d \) и периметр \( \small P \) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие \( \small \frac P2>d \) (это следует из неравенства треугольника).
Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:
 |
(6) |
 |
(7) |
Из формулы (7) найдем \( \small b \) и подставим в (6):
 |
(8) |
 |
(9) |
Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной \( \small a \):
 |
(10) |
Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):
  |
(11) |
Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:
 |
(12) |
После вычисления \( \small a \), сторона \( \small b \) вычисляется или из формулы (12), или из (8).
Примечание. Легко можно доказать, что
| \( b=\frac{P-\sqrt{D}}{4}>0 \) | (*) |
Действительно.
| \( \frac{ P}{2}>d \; ⇒ \; P>2\cdot d \; ⇒ \) \( \small P^2>4 \cdot d^2 \; ⇒ \; 4d^2-P^2 < 0 \) |
Тогда
| \( \sqrt{D}=\sqrt{8d^2-P^2}= \) \( \small \sqrt{4d^2+4d^2-P^2} < \sqrt{4d^2}=2d \) |
Имеем \( \small \sqrt{D} <2d ,\) \( \small P > 2d .\) Следовательно выполняется неравенство (*).
Пример 4. Диагональ прямоугольника равна 
, а периметр равен 
. Найти стороны прямоугольника.
Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант \( \small D \) из формулы (11). Для этого подставим , в (11):
 |
Подставляя значения и 
в первую формулу (12), получим:
 |
Найдем другую сторону \( \small b \) из формулы (8). Подставляя значения и 
в формулу, получим:
 |
Ответ: 
, 
Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.