Вписанный угол окружности

Определение 1. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом окружности.

На рисунке 1 угол ABC вписанный. А дуга AMB расположена внутри этого угла. В таком случае говорят, что угол ABC опирается на дугу AMB.

Теорема 1 (теорема о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство. Пусть \( \small ABC \) -− вписанный угол окружности с центром O, которая опирается на дугу AC (Рис.2, Рис.3, Рис.4). Докажем, что

Возможны три случая расположения луча BO относительно угла ABC.

1. Луч BO совпадает с одним из сторон угла ABC, например со стороной BC (Рис.2). Поскольку в этом случае дуга AC меньше полуокружности, то (см. статью Центральный угол окружности. Градусная мера дуги окружности).

Рассмотрим треугольник ABO. Данный треугольник равнобедренный так как радиусы OA и OB окружности с центром O равны. Тогда \( \small \angle 1=\angle 2. \) Угол AOC является внешним углом треугольника ABO. Тогда \( \small \angle AOC=\angle 1+\angle 2 \) и поскольку \( \small \angle 1=\angle 2, \) получим: \( \small \angle AOC=2 \cdot \angle 2. \) Отсюда следует:

или

2. Луч BO делит угол ABC на два угла и не совпадает со стороной этого угла (Рис.3). Тогда луч BO пересекает дугу AC в некоторой точке D и делит ее на две дуги: AD и DC. По доказанному в пункте 1, имеем:

Складывая равенства (1) и (2), получим:

или

3. Луч BO не делит угол ABC на два угла и не совпадает со стороной этого угла (Рис.4). Тогда луч BO пересекает окружность с центром O в некоторой точке D. По доказанному в пункте 1, имеем:

Вычитая из (4) равенство (5), получим:

или

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (Рис.5).

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность − прямой (Рис.6).

Произведение отрезков пересекающихся хорд

Теорема 2. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство. Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке M. Докажем, что AM · MB=CM · MD (Рис.7). Углы 3 и 4 вертикальные, следовательно \( \small \angle 3=\angle 4 .\) Углы 1 и 2 равны, так как они опираются на одну и ту же дугу BC (Следствие 1). Следовательно треугольники AMC и DMB подобны по первому признаку подобия треугольников (см. Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников). Тогда имеет место следующее соотношение \( \small \frac{AM}{MD}=\frac{CM}{MB}. \)

или