Определение 1. Окружность называют вписанным в четырехугольник, если окружность касается всех сторон четырехугольника.
На рисунке 1 окружность вписан в четырехугольник ABCD. В этом случае говорят также, что четырехугольник описан около окружности.
 |
Теорема 1. Если окружность вписан в четырехугольник, то сумма противолежащих сторон четырехугольника равны.
Доказательство. Пусть окружность ABCD вписан в четырехугольник (Рис.2). Докажем, что \( \small AB+CD=AD+BC \).
 |
Точки M, N, Q, P − точки касания окружности со сторонами четырехугольника. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности через одну точку, равны (статья Касательная к окружности теорема 2), то
| \( \small AM=AQ=a, \) \( \small BM=BN=b, \) \( \small CN=CP=c, \) \( \small DQ=DP=d \) |
Тогда
| \( \small AB+CD \) \( \small=AM+BM+CP+DP \) \( \small =a+b+c+d, \) | (1) |
| \( \small AD+BC\) \( \small=AQ+DQ+BN+CN\) \( \small=a+d+b+c. \) | (2) |
Из равенств (1) и (2), следует:
\( \small AB+CD=AD+BC. \) |
Теорема 2. Если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.
Доказательство. Пусть задан выпуклый четырехугольник ABCD и пусть \( \small AB+CD=AD+BC. \) (Рис.3). Докажем, что в него можно вписать окружность.
 |
Проведем биссектрисы углов A и B четырехугольника ABCD. Точку их пересечения обозначим буквой O. Тогда точка O равноудалена от сторон AB, BC, AD. Следовательно существует окружность с центром в точке O, которая касается этих трех сторон.
Пусть эта окружность не касается стороны CD. Тогда возможны два случая.
Случай 1. Сторона CD не имеет общих точек с построенной окружностью.
Проведем касательную C1D1 к окружности, параллельно стороне CD четырехугольника.
Тогда окружность с центром O вписан в четырехугольник ABC1D1. Следовательно, по теореме 1, имеем:
| \( \small AB+C_1D_1=AD_1+BC_1. \) | (3) |
Но по условию данной теоремы:
| \( \small AB+CD=AD+BC. \) | (4) |
Вычтем из равенства (4) равенство (3):
| \( \small CD-C_1D_1\) \(\small=AD-AD_1+BC-BC_1 \) |
или
| \( \small CD-C_1D_1=DD_1+CC_1 \) |
Откуда:
| \( \small CD=DD_1+CC_1+C_1D_1\) |
Получили, что в четырехугольнике CC1D1D длина одной стороны равна сумме длин трех остальных сторон, что невозможно (см. задачу 1 статьи Четырехугольник).
Таким образом сторона CD должна иметь общие точки с рассматриваемой окружностью.
Случай 2. Сторона CD имеет две общие точки с построенной окружностью (Рис.4).
 |
Аналогичными рассуждениями можно показать, что сторона CD не может иметь две общие точки с построенной окружностью.
Следовательно, предполагая, что построенная окружность не касается стороны CD, мы пришли к противоречию. Таким образом, если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.
Если в четырехугольник вписан окружность, то существует точка, равноудаленная от всех сторон четырехугольника. Эта точка является центром вписанной в четырехугольник окружности. Для нахождения этой точки достаточно найти точку пересечениия биссектрис двух соседних углов данного четырехугольника.