С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку "Вычислить". Теоретическую часть смотрите ниже.
Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
   |
Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).
Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
 |
Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник A2B2C2. Покажем, что точки A, B, C являются серединами сторон треугольника A2B2C2. AB=A2C так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ABA2C. AB=CB2 так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ABCB2. Тогда CB2=CA2, то есть точка C является серединой стороны A2B2 треугольника A2B2C2. Аналогично доказывается, что точки A и B являются серединами сторон B2C2 и A2C2, соответственно.
Далее из AA1⊥BC следует, что AA1⊥B2C2 поскольку BC ǁ B2C2. Аналогично, BB1⊥A2C2, CC1⊥A2B2. Получили, что AA1, BB1, CC1 являются серединными перпендикулярами сторон B2C2, A2C2, A2B2, соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.
Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).
 |
Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:
 . |
Откуда:
 . |
(1) |
Пример 1. Сторона треугольника равна a=5 а площадь S=7. Найти высоту треугольника.
Решение:
Применим формулу (1). Подставляя значения a и S в (1), получим:
 |
Ответ:
Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):
 |
(2) |
где a, b, c стороны треугольника а полупериод p вычисляется из формулы:
 |
(3) |
Высота треугольника, отпущенная на сторону a вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:
 . |
(4) |
Пример 2. Известны стороны треугольника: a=5, b=4, c=7. Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону a.
Решение: Найдем, сначала полупериод p треугольника из формулы (3):
 |
Подставляя значения a, b, c и p в (4), получим:
 |
Ответ:
 |
Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:
 |
(5) |
откуда
 |
(6) |
Далее, из теоремы синусов имеем:
 |
(7) |
Подставляя (6) в (7), получим:
 |
или
 |
(8) |
Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:
| max(b,c)≤2R<b+c | (9) |
Пример 3. Известны стороны треугольника: b=7, c=3 и радиус описанной окружности R=4. Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону a.
Решение: Проверим сначала условие (9):
| max(7,3)≤2⋅4<7+3 | (10) |
Условие (9) удовлетворяется, следовательно такой треугольник существует. Для нахождения выстоты треугольника воспользуется формулой (8). Имеем:
 |
Ответ: 258.
 |
Найдем высоту ha треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:
| hasin∠B=csin90°, |
откуда
| ha=c⋅sin∠B. | (11) |
Пример 4. Известны сторона c=12 треугольника и прилежащий угол ∠B=30°. Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону a.
Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения c=12 и ∠B=30° в (11). Имеем:
 |
Ответ: 6.