Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус описанной окружности около любого треугольника, в том числе радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку "Вычислить". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

1. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза треугольника

Пусть известна гипотенуза c прямоугольного треугольника (Рис.1). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.

На странице Радиус окружности описанной около треугольника формула радиуса описанной окружности около треугольника по стороне и противолежащему углу имеет вид:

\( \small R=\frac{\large c}{\large 2 \sin C} \)

где C − угол противолежащий гипотенузе прямоугольного треугольника. Поскольку угол, противолежащий гипотенузе − прямой, то получим:

\( \small R=\frac{\large c}{\large 2 \sin 90°}=\frac{\large c}{\large 2}, \)

то есть

\( \small R=\frac{\large c}{\large 2}. \)(1)

Пример 1. Известна гипотенуза \( \small с=\frac{9}{2} \) прямоугольного треугольника. Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (1).

Подставим значение \( \small c=\frac{9}{2} \) в (1):

Ответ:

2. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катеты треугольника

Пусть известны катеты a и b прямоугольного треугольника. Найдем радиус описанной окружности около треугольника (Рис.2).

Из теоремы Пифагора запишем формулу гипотенузы, выраженная через катеты:

\( \small c=\sqrt{a^2+b^2}. \)(2)

Подставляя (2) в (1), получим:

\( \small R=\frac{\large c}{\large 2}=\frac{\large \sqrt{a^2+b^2}}{\large 2}, \)

или

\( \small R=\frac{\large \sqrt{a^2+b^2}}{\large 2}. \)(3)

Пример 2. Катеты прямоугольного треугольника равны: \( \small a=15 , \; b=3.\) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (3). Подставим значения \( \small a=15 , \; b=3\) в (3):

Ответ:

3. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника

Формула для вычисления радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника аналогична формуле вычисления радиуса описанной окружности около произвольного треугольника (см. статью на странице Радиус описанной окружности около треугольника онлайн):

(4)

4. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и прилежащий острый угол треугольника

Пусть известны катет a и прилежащий острый угол B прямоугольного треугольника (Рис.4). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.

Так как треугольник прямоугольный, то сумма острых углов треугольника равна 90°:

\( \small \angle A+\angle B=90°. \)

Откуда:

\( \small \angle A=90°-\angle B. \)(5)

Подставляя (5) в (4), получим:

\( \small R=\frac{\large a}{\large 2 \sin A}=\frac{\large a}{\large 2 \sin(90°-B)}\) \( \small =\frac{\large a}{\large 2 \cos B} \)

или

\( \small R=\frac{\large a}{\large 2 \cos B}. \)(6)

Пример 3. Катет прямоугольного треугольника равен: \( \small a=15 ,\) а прилежащий угол равен \( \small \angle B=25°. \) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (6). Подставим значения \( \small a=15 , \; \angle B=25° \) в (6):

Ответ:

Смотрите также: