Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в любой треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку "Вычислить". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

1. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катеты треугольника

Пусть известны катеты a и b прямоугольного треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности.

Радиус вписанной в треугольник окружности, если известна площадь треугольника S и полупериметр p вычисляется из следующей формулы (статья Радиус вписанной в треугольник окружности, формула (5)):

\( \small r= \frac{\large S}{\large p}, \) (1)

где

\( \small p= \frac{\large a+b+c}{\large 2}. \) (2)

Площадь прямоугольного треугольника по катетам вычисляется из формулы:

\( \small S= \large \frac{1}{2} \small \cdot a \cdot b. \) (3)

Подставляя (2) и (3) в (1) получим формулу вписанной в прямоугольный треугольник окружности:

\( \small r= \large \frac{\frac{1}{2}ab}{\frac{1}{2}(a+b+c)} \) \( \small = \large \frac{ab}{a+b+c}, \) (4)

где c вычисляется из теоремы Пифагора:

\( \small c= \sqrt{ a^2+b^2}. \) (5)

Из формулы (4) выведем другую эквивалентную формулу. Умножим числитель и знаменатель формулы (4) на \( \small a+b-c \):

\( \small r= \frac{\large ab(a+b-c)}{\large (a+b+c)(a+b-c)} \) \( \small = \frac{\large ab(a+b-c)}{\large (a+b)^2-c^2} \) \( \small = \frac{\large ab(a+b-c)}{\large a^2+2ab+b^2-c^2} \) (6)

Учитывая (5), формулу (6) можно переписать так:

\( \small r= \frac{\large ab(a+b-c)}{\large 2ab} \) \( \small = \frac{\large a+b-c}{\large 2} .\)

Таким образом другая формула вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности имеет вид:

\( \small r= \frac{\large a+b-c}{\large 2} ,\) (7)

где c вычисляется из (5).

Пример 1. Известны катеты прямоугольного треугольника a=17 и b=5. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся одним из формул (4) и (7). Вычислим, сначала, гипотенузу прямоугольного треугольника из формулы (5):

Подставим значения \( \small a=17, \; b=5\; c=17.720045 \) в (7):

Ответ:

2. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и прилегающей к нему острый угол

Пусть известны катет a прямоугольного треугольника и прилежащий к нему угол β(Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Из теоремы синусов имеем:

\( \small \frac{\large a}{\large \sin \alpha}=\frac{\large b}{\large \sin \beta} .\)

Учитывая, что \( \small \alpha=90°-\beta \) и \( \small \sin \ (90°-\beta)=\cos \beta \), получим:

\( \small \frac{\large a}{\large \sin \alpha}=\frac{\large a}{\large \sin (90°-\beta)} \) \( \small =\frac{\large a}{\large \cos \beta}=\frac{\large b}{\large \sin \beta} .\) (8)

Тогда из (8) получим:

\( \small b=\frac{\large a \cdot \sin \beta}{\large \cos \beta}. \) (9)

Далее, из теоремы синусов:

\( \small \frac{\large a}{\large \sin \alpha}=\frac{\large a}{\large \sin (90°-\beta)} \) \( \small =\frac{\large a}{\large \cos \beta}=\frac{\large c}{\large \sin 90°} .\)

Откуда:

\( \small c=\frac{\large a}{\large \cos \beta} .\) (10)

Чтобы получить формулу радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности через катет и прилежащий к нему угол, подставим значения \( \small b \) и \( \small c \) из (9) и (10) в (7):

или

(11)

Пример 2. Известны катет \( \small a=21 \) и прилежащий к нему угол \( \small \beta=30° \) прямоугольного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (11). Подставим значения \( \small a=21 \) \( \small \beta=30° \) в (11):

Ответ:

3. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и противолежащий острый угол

Пусть известны катет a прямоугольного треугольника и противолежащий угол \( \small \alpha; \) (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

В предыдущем параграфе мы вывели формулу вписанной в прямоугольный треугольник окружности по катету и прилежащему углу (формула (11)). Учитывая, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, имеем:

\( \small \alpha+\beta=90°\) \( \small \beta=90°-\alpha \)

Тогда (11) можно преобразовать так (подробнее на странице Формулы приведения тригонометрических функций:

или

(12)

Пример 3. Известны катет \( \small a=6 \) прямоугольного треугольника и противолежащий угол \( \small \alpha=53°. \) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (12). Подставим значение \( \small a=6, \; \alpha=53° \) в (12):

Ответ:

Смотрите также: