Площадь равностороннего треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти площадь равностороннего треугольника. Для нахождения площади равностороннего треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку "Вычислить". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Содержание

Площадь равностороннего треугольника по стороне
Площадь равностороннего треугольника по высоте
Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности
Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Площадь равностороннего треугольника по стороне

Пусть в равносторннем треугольнике известна сторона a (a=b=c) (Рис.1):

Найдем площадь треугольника. Поскольку в треугольнике напротив равных сторон расположенные равные углы (см. статью Соотношения между сторонами и углами треугольника), то в равносторннем треугольнике все углы равны. Но сумма всех углов треугольника равна 180°. Следовательно все три угла равностороннего треугольника равны 60°. Для треугольника ABH применим теорему синусов:

Учитывая, что , получим:

(1)

Площадь треугольника по основанию и высоте имеет следующий вид:

(2)

Подставляя (1) в (2), получим:

(3)

Пример 1. Сторона равностороннего треугольника равна a=5. Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (3). Подставляя значение a=5 в (3), получим:

Ответ:

Площадь равностороннего треугольника по высоте

Пусть в равностороннем треугольнике известна высота h (Рис.1). Найдем площадь треугольника.

Найдем из формулы (1) a и подставим в (2):

или

(4)

Пример 2. Высота равностороннего треугольника равна h=6.5. Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя значение h=6.5 в (4), получим:

Ответ:

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Пусть в прямоугольном треугольнике известна радиус вписанной окружности r (Рис.2):

Найдем площадь равностороннего треугольника. На рисунке 2 равносторонний треугольник разделен га 6 частей. Полученные 6 прямоугольные треугольники равны по катету и гипотенузе (см. статью Прямоугольный треугольник). Тогда:

Чтобы найти площадь треугольника ABC достаточно найти площадь одного из прямоугольных треугольников и умножить на 6.

(5)

Применим для треугольника OBE теорему синусов:

или

(6)

Найдем a из формулы (6):

(7)

Подставляя (7) в (5), получим:

(8)

Наконец, площадь треугольника ABC равна:

(9)

Пример 3. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равна r=7.5. Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (9). Подставляя значение r=7.5 в (9), получим:

Ответ:

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Пусть в прямоугольном треугольнике известна радиус описанной окружности R (Рис.3):

Найдем площадь равностороннего треугольника. На рисунке 3 равносторонний треугольник разделен на 6 частей. Полученные 6 прямоугольные треугольники равны по катету и гипотенузе. Тогда: