Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

На рисунке 1 прямая $\small l$ серединный перпендикуляр к отрезку $\small AB .$

Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку

Теорема 1. 1) Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. 2) Обратно: Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Доказательство. 1) Пусть точка $\small O$ середина отрезка $\small AB$ и пусть прямая $\small q$ серединный перпендикуляр к отрезку $\small AB$ (Рис.2). Рассмотрим любую точку $\small M$ на прямой $\small q$. Докажем, что $\small AM=BM.$ Если точка $\small M$ совпадает с точкой $\small O$, то равенство $\small AM=BM$ верно поскольку $\small AO=BO$ ($\small O$-середина отрезка). Пусть $\small M$ и $\small O$ различные точки. Тогда прямоугольные треугольники $\small MOA$ и $\small MOB$ равны по двум катетам ($\small AO=OB$, $\small OM$− общий). Следовательно $\small AM=BM.$

2) Пусть точка $\small P$ равноудалена от от концов отрезка $\small AB$ (Рис.3). Тогда выполено равенство $\small AP=BP$. Докажем, что $\small P$ лежит на серединном перпендикуляре $q$. Если точка $\small P$ принадлежит прямой $\small AB$, то поскольку она равноудалена от концов отрезка $\small AB,$ она совпадает с точкой $\small O$, т.е. лежит на прямой $q.$ Если же $\small P$ не лежит на прямой $\small AB$, то треугольник $\small ABP$ равнобедренный, поскольку $\small AP=BP .$ Отрезок $\small PO$ медиана этого равнобедренного треугольника и, значит, является также высотой этого треугольника. Тогда $\small PO⊥AB .$ Прямые $\small PO$ и $q$ проходят через точку $\small O$ и перпендикулярны к $\small AB .$ Следовательно эти прямые совпадают, т.е. точка $\small P$ принадлежит прямой $q.$