Формулы двойного и тройного угла (аргумента) онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно получить формулы суммы и разности углов тригонометрических функций. Для получения формулы выберите нужную тригонометрическую функцию, нажав на "sin", выберите нужный аргумент, нажав на аргумент в формуле. В результате получится формула для этой функции и аргумента. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Формулы двойного и тройного угла (аргумента) − теория, доказательство

Формулы двойного угла (аргумента)

Выведем формулы двойного угла тригонометрических функций. Запишем формулы суммы углов функций синус и косинус (подробнее посмотрите на странице Формулы суммы и разности углов тригонометрических функций онлайн):

(1)

(2)

Подставим в (1) и (2) β=α. Тогда

Т.е.

(3)

(4)

Формула двойного угла для косинуса имеет еще две формы, которые можно получить применяя известное тригонометрическое уравнение

(5)

Из уравнения (5) можно записать:

(6)

(7)

Поставляя поочередно (6) и (7) в (4) получим:

или

(8)

(9)

Рассмотрим, теперь, тангенс и котангенс двойного угла:

или

(10)

(11)

Справедливость формул проверим на численных примерах.

Пример 1. Проверить формулы (3) и (4) для угла 30°.

Как известно , . Тогда

Пример 2. Проверить формулы (10) и (11) для угла 30°.

Как известно , . Тогда

Формулы тройного угла (аргумента)

Выведем формулы тройного угла функций синус и косинус. Для этого представим угол 3α в виде суммы двух углов (3α=2α+α) и воспользуемся формулами (1) и (2):