Площадь квадрата онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти площадь квадрата. Для нахождения площади квадрата, введите известные данные в ячейку и нажмите на кнопку "Вычислить". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Площадь квадрата. Определение

Определение 1. Площадь квадрата − это величина той части плоскости, которую занимает квадрат.

Единицы измерения площади квадрата

За единицу измерения площадей применяют квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. В качестве единицы измерения площадей принимают квадраты со сторонами 1мм, 1см, 1дм, 1м и т.д (Рис.1). Такие квадраты назыают квадратным миллиметром, квадратным сантиметром, квадратным дециметром, квадратным метром и т.д., соответственно. Обозначаются они мм², см², дм², м² и т.д., соответственно.

Рис.1

Если выбрана единица измерения, то площадь измеряемого объекта (квадрата, треугольника, прямоугольника, многоугольника и т.д.)определяется положительным числом, которая определяет сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном объекте.

Для измерения отдельных плоских фигур используются специальные формулы. В данной статье мы выведем формулу для вычисления площади квадрата.

Площадь квадрата. Доказательство

Теорема 1. Площадь S квадрата со стороной a равна .

Доказательство. Пусть n целое неотрицательное число и пусть . Рассмотрим квадрат со стороной 1 (Рис.2). Разделим этот квадрат по ветрикали и по горизонлали на n равных частей. Получим маленьких квадратов состоронами . Поскольку площадь большого квадрата равна 1 (так как является единицей измерения), то очевидно, что площадь маленького квадрата равна:

а поскольку , то имеем:

(1)

Пусть теперь a является конечной десятичной дробью, содержащую n знаков после запятой. (Если n=0, то a будет целым числом). Тогда a можно представить в виде обыкновенной дроби, умножив и делив на :

откуда

(2)

где m − целое число.

Возьмем квадрат со стороной a и разделим его по горизонлали и вертикали на m ровных частей. Получим m² маленьких квадратов (Рис.3).

Тогда, учитывая (2), сторона каждого квадрата равна:

По формуле (1) площадь маленького квадрата равна:

Следовательно, площадь квадрата со стороной a равна:

(3)

Пусть, далее, число a представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число a_n которая получается из a отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n+1)-го. Поскольку a отличается от a_n не более, чем на , то имеем:

откуда

(4)

Из неравенства (4) следует, что площадь S квадрата со стороной a заключена между площадью квадрата со стороной a_n и площадью квадрата со стороной (Рис.4), т.е.

(5)

При неограниченном увеличении числа n, число будет становиться сколь угодно малым и, следовательно, число будет сколь угодно мало отличаться от . Тогда из неравенства (5) следует, что число S будет мало отличаться от числа . Следовательно они равны, т.е. .

Площадь квадрата по стороне

Из вышеизложенного доказательства получили, что площадь квадрата равна:

(6)

где \( \small a \) сторона квадрата.

Пример 1. Сторона квадрата равна . Найти площадь квадрата.

Решение. Для нахождения плошади квадрата воспользуемся формулой (6). Подставляя в (6), получим:

Ответ:

Площадь квадрата по диагонали

Пусть известна диагональ \( \small d \) квадрата (Рис.5). Найдем площадь квадрата.

Для нахождения плошади квадрата, найдем сначала сторону \( \small a \) квадрата. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

(7)

Подставляя (7) в (6), получим:

то есть площадь квадрата по диагонали вычисляется из следующей формулы:

(8)

Пример 2. Диагональ квадрата равна . Найти площадь квадрата.

Решение. Для нахождения плошади квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя в (8), получим:

Ответ:

Площадь квадрата по радиусу вписанной окружности

Пусть известен \( \small r \) радиус окружности вписанной в квадрат (Рис.6). Найдем площадь квадрата.

Для нахождения плошади квадрата, найдем сначала сторону \( \small a \) квадрата. Нетрудно заметить, что радиус \( \small r \) равна половине стороны \( \small a \) квадрата, т.е.