Теорема Стюарта. Доказательство

Теорема (Теорема Стюарта). Если точка D лежит на стороне BC треугольника ADC(Рис.1), то имеет место следующее равенство:

или

Доказательство (через теорему косинусов). Для треугольников ADB ADC запишем формулу, используя теорему косинусов:

Учитывая, что \( \small \cos ∠ADC=\cos (180°−∠ADB)=-cos∠ADB , \) (2) можно записать так:

Умножим (1) на y и (2') на x:

Сложим (3) и (4):

или

Тогда, учитывая, что x+y=a, получим:

Доказательство (с использованием векторов). Имеем:

Умножим (5) на CD, а (6) на BD:

Сложим (7) и (8):

Так как векторы и коллинеарны и имеют противоположные направнения, то

Учитывая (10) и CD+BD=BC, найдем AD из (9)

Возведем обе части равенства (11) в квадрат:

Далее

Возведем обе части равенства (12) в квадрат:

Поскольку

и, аналогично,

то

Тогда, учитывая (14),(15) и , упростим (12):

и , учитывая, что \( \small BD+CD=BC , \) получим: