Теорема Стюарта. Доказательство

Теорема (Теорема Стюарта). Если точка D лежит на стороне BC треугольника ADC(Рис.1), то имеет место следующее равенство:

или

.

Доказательство (через теорему косинусов). Для треугольников ADB ABD запишем формулу, используя теорему косинусов:

,(1)
.(2)

Учитывая, что \( \small \cos ∠ADC=\cos (180°−∠ADB)=-cos∠ADB , \) (2) можно записать так:

.(2')

Умножим (1) на y и (2') на x:

,(3)
.(4)

Сложим (3) и (4):

.

или

.

Тогда, учитывая, что x+y=a, получим:

.конец доказательства

Доказательство (с использованием векторов). Имеем:

,(5)
.(6)

Умножим (5) на CD, а (6) на BD:

,(7)
.(8)

Сложим (7) и (8):

,
.(9)

Так как векторы и коллинеарны и имеют противоположные направнения, то

.(10)

Учитывая (10) и CD+BD=BC, найдем AD из (9)

.(11)

Возведем обе части равенства (11) в квадрат:

.(12)

Далее

.(12)

Возведем обе части равенства (12) в квадрат:

.(13)

Поскольку

.

и, аналогично,

,,(14)

то

.(15)

Тогда, учитывая (14),(15) и , упростим (12):

.

и , учитывая, что \( \small BD+CD=BC , \) получим:

.конец доказательства