Диагонали ромба онлайн

1. Диагонали ромба через высоту и угол

Пусть известны высота и угол ромба (Рис.1).

Покажем, что диагонали ромба через высоту и угол вычисляются по формулам

Формула стороны ромба через высоту и угол имеет следующий вид:

Поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения (свойства 5 и 6 ромба), то треугольник AOB прямоугольный. Тогда из теоремы синусов, имеем:

или, учитывая \(\small AO=\frac{\large d_1}{\large 2} ,\) \(\small BO=\frac{\large d_2}{\large 2} ,\) \( \small AB=a ,\) \( \small \sin(90°-\frac{\alpha}{2})=\cos \frac{\alpha}{2} ,\) получим

Подставляя (3) в (4) и (5), и учитывая формулу синуса двойного угла \( \small \sin \alpha=2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2} ,\) получим:

Мы вывели формулы диагоналей ромба (1) и (2) через высоту и угол.

2. Диагонали ромба через площадь и высоту

Рассмотрим ромб с высотой h и площадью S (Рис.2).

Покажем, что диагонали ромба через высоту и площадь вычисляются по формулам:

где

В параграфе 1 мы вывели формулы длин диагоналей (6), (7) через высоту и угол. Покажем, что угол ромба через площадь и высоту вычисляется формулой (8).

В статье Сторона ромба мы вывели формулы стороны ромба через площадь и высоту, а также через высоту и угол:

Сравнивая (9) и (10), получим:

Откуда:

или

Заметим, что высота ромба не может быть больше стороны ромба ( \( \small h≤a \) ) и, следовательно, \( \small h^2≤a\cdot h=S .\)

3. Диагонали ромба через площадь и угол

Выведем формулу вычисления диагоналей ромба через площадь и угол. В статье Площадь ромба были выведены формулы площади ромба через угол и противолежащую диагональ и через угол и диагональ из данного угла:

Из (11) и (12) найдем \( \small d_1 \) и \( \small d_2: \)

4. Диагональ ромба через угол и противолежащую диагональ

Пусть известна один из углов α=∠ABC ромба и противолежащая диагональ d₁=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления диагонали d₂=BD ромба.

Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено выше, диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения. Кроме этого, диагонали ромба делят углы ромба пополам. Для прямоугольного треугольника AOB, имеем:

Откуда, учитывая, что \(\small AO=\frac{\large d_1}{\large 2}, \) \(\small BO=\frac{\large d_2}{\large 2}, \) получим формулу диагонали ромба через угол и противолежащую диагональ:

или

5. Диагональ ромба через угол и диагональ из данного угла

Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и диагональ из данного угла d₂=BD (Рис.5). Выведем формулу вычисления диагонали d₁=AC ромба.

Из формулы (15) найдем d₁:

или

6. Диагонали ромба через сторону и угол

Пусть известны сторона ромба и угол (Рис.6). Найдем диагонали ромба.

В статье Сторона ромба мы вывели формулу стороны ромба через угол и противолежащую диагональ, а также формулу стороны ромба через угол и диагональ из данного угла:

Из формул (17) и (18) найдем d₁ и d₂:

Получили формулы диагоналей ромба через угол и сторону ((19),(20)).

7. Диагонали ромба через площадь и радиус вписанной окружности

Пусть известны площадь ромба и радиус впианной в ромб окружности (Рис.7). Найдем диагонали ромба.

В параграфе 2 мы вывели формулы диагоналей ромба через площадь и высоту. Учитывая, что высота ромба равна радиусу вписанной в ромб окружности, умноженная на 2 (\( \small h=2r \)), формулы (6)−(8) примут следующий вид:

где

Получили формулы длин диагоналей ромба через площадь и радиус вписанной окружности.