Теорема о биссектрисе треугольника. Доказательство

Теорема 1. Биссектриса при вершине треугольника делит противоположную сторону на две отрезки, пропорциональные сторонам, прилежащим к данной вершине. То есть если биссектриса при вершине A делит в точке D сторону BC на отрезки BD и CD (Рис.1), то имеет место следующее соотношение:

Доказательство (метод площадей 1). Из вершины A опущена биссектриса AD. Построим вершину треугольника AH. Найдем площади треугольников ABD и ACD:

Построим следующее соотношение

С другой стороны, площадь треугольников ABD и ACD можно найти используя следующие формулы:

Построим следующее соотношение используя формулы (6) и (7):

Из формул (5) и (8) получим соотношение (1).

Доказательство (метод площадей 2). С одной стороны, аналогично вышеизложенному имеем соотношение (5). Далее из точки D проведем вершины L и M для треугольников ABD и ACD (Рис.2).

Тогда площади треугольников ABD и ACD можно найти из формул:

Построим следующее соотношение

Из формул (5) и (11) получим соотношение (1).

Доказательство (через теорему синусов). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.3):

Применяя теорему синусов для треугольников ABD и ACD можем записать:

Поделив (12) на (13) и учитывая, что \( \small \sin(180°-\delta)=\sin \delta , \) (см. статью Формулы приведения тригонометрических функций онлайн) получим равенство (1).

Доказательство (через подобие треугольников). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.4). Проведем перпендикуляры из вершин B и C на луч AD и обозначим точки пересечения через L и K.

Рассмотрим треугольники ABL и ACK. Эти треугольники подобны по двум углам (\( \small ∠ ALB= ∠ AKC ,\;\; ∠ BAL= ∠ CAK \) ). Тогда имеем:

Рассмотрим, далее, треугольники BLD и CKD. Они также подобны поскольку \( \small ∠ BLD= ∠ CKD ,\) а углы BDL и CDK равны так как они вертикальные. Тогда имеет место следующее соотношение:

Из равенств (14) и (15) получаем:

Пример. Даны стороны треугольника ABC: AB=18, AC=6, BC=20. Найти отрезки, полученные делением биссектрисей большой стороны треугольника.

Решение. Поскольку напротив самой большой стороны треугольника находится вершина A, то бисскетриса AD делит сторону BC на отрезки BD и CD. Тогда имеем:

Обозначим BD=x. Тогда CD=BC−x=20−x. Подставляя данные в уравнение (16), получим:

или

Методом перекресного умножения упростим (17) и решим:

Тогда BD=x=15,   CD=BC−x=20−x=5.

Ответ. BD=15,   CD=5.