Ромб

Определение ромба

Определение 1. Ромб − это параллелограмм, у которого все стороны равны.

На рисунке 1 изображен ромб ABCD.

Определение 2. Ромб − это четырехугольник, у которого все стороны равны.

Ромб разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью ромба, а другая внешней областью ромба.

Объединение ромба и ограниченной им части плоскости также называют ромбом.

Свойства ромба

Поскольку ромб является параллелограммом, то имеет следующие свойства:

• 1. У ромба противолежащие углы равны ($\small \angle A = \angle C, \; \angle B = \angle D.$ )
• 2. У ромба противолежащие стороны равны ($\small AB = DC, \; BC=AD.$ )
• 3. У ромба противолежащие стороны параллельны $\small( AB \ || \ DC, \; BC \ || \ AD).$
• 4. У ромба соседние углы дополняют друг друга до 180° $\small ( \angle A +\angle B=180°,$ $\small \angle C + \angle D=180°).$
• 5. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам $\small ( AO = OC,$ $\small BO=OD).$

Ромб имеет также и следующие свойства:

• 6. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом ($\small AC \perp BD.$ )
• 7. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов ($\small \angle ABD = \angle CBD,$ $\small \angle ADB = \angle CDB,$ $\small \angle DAC = \angle BAC,$ $\small \angle BCA = \angle DCA.$)
• 8. В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.
• 9. Сумма квадратов диагоналей ромба равна квадрату стороны, умноженная на четыре $\small (AC^2+BD^2=4AB^2).$

Докажем свойства 6 и 7, сформулировав следующую теорему:

Теорема 1. Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Доказательство. По определению 1, $\small AD = DC$ (Рис.2). Следовательно треугольник $\small DAC$ равнобедренный. Тогда $\small \angle DCO = \angle DAO.$ Учитывая, что $\small AO = OC$ (свойство 5 ромба), получим, что треугольники $\small DOA$ и $\small DOC$ равны по двум сторонам и углу между ними (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Тогда равны углы DOC и DOA. Но эти углы смежные и их сумма равна 180°. Следовательно $\small \angle DOC= \angle DOA=90°.$ То есть диагонали AC и BD перпендикулярны.

Из равенства треугольников $\small DOA$ и $\small DOC$ также следует, что $\small \angle CDO= \angle ADO,$ следовательно BD является биссектрисой угла ADС, то есть BD является биссектрисой ромба ABCD.

Признаки ромба

Признак 1. Если смежные стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм − ромб.

Доказательство. Пусть смежные стороны параллелограмма ABCD равны. То есть имеем: AB=BC (Рис.3). У параллелограмма противоположные стороны равны (Свойство 1 статьи Параллелограмм). Тогда DC=AB=BC=AD. То есть все стороны параллелограмма равны и по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.

Признак 2. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм − ромб.

Доказательство. Пусть диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны (Рис.3). Рассмотрим прямоугольные треугольники AOB и COB. Так как у параллелограмма диагонали точкой пересечения разделяются пополам (Свойство 2 статьи Параллелограмм), то AO=OC. Тогда прямоугольные треугольники AOB и COB равны по двум катетам (AO=OC, BO общий катет (см. статью Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства)). Следовательно AB=BC. Тогда по признаку 1 этот параллелограмм является ромбом.

Признак 3. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм − ромб.

Доказательство. Пусть диагональ AC параллелограмма ABCD является биссектрисой угла BAD (Рис.4). Тогда $\small \angle 1= \angle 2 .$ У параллелограмма ABCD $\small AB \ || \ DC .$ Тогда для параллельных прямых AB и DC и секущей AC справедливо равенство $\small \angle 1= \angle 4 .$ (см теорему 1 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Аналогично, для параллельных прямых BC и AD и секущей AC справедливо равенство $\small \angle 2= \angle 3 .$ Так как $\small \angle 1= \angle 2 ,$ то $\small \angle 1= \angle 2=\angle 3= \angle 4 .$ Из $\small \angle 1= \angle 3$ следует, что треугольник ABC равнобедренный (Признак 2 статьи Равнобедренный треугольник). Тогда AB=BC. У параллелограмма противоположные стороны равны (Свойство 1 статьи Параллелограмм). Тогда AB=BC=CD=DA. То есть все стороны параллелограмма равны и по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.

Признак 4. Если стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник − ромб.

Доказательство. Пусть у четырехугольника все стороны равны. Тогда этот четырехугольник является параллелограммом (признак 2 статьи Параллелограмм). А по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.