Биссектриса треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти биссектрису треугольника. Для нахождения длины биссектрисы треугольника введите длины сторон треугольника, выберите сторону, к которой проведена биссектриса и нажмите на кнопку "Вычислить". Теоретическую часть смотрите ниже.

Определение 1. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соеиняющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны называется биссектрисой треугольника (Рис.1).

Биссектриса треугольника также называют биссектрисей угла треугольника или биссектрисей внутреннего угла треугольника.

Биссектриса внешнего угла треугольника − это биссектриса угла, которая является смежным с внутренним углом треугольника (Рис.2).

Любой треугольник имеет три биссектрисы.

Теорема 1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Проведем биссектрисы AA1, BB1 и обозначим через O точку их пересечения (Рис.3). Из точки O проведем перпендикуляры OK, OM и OL по сторонам треугольника ABC. По теореме 1 статьи Биссектриса угла. СвойстваOK=OL OK=OM. Следовательно OL=OM. Но последнее равенство означает, что точка O равноудалена от сторон AC и BC, т.е. находится на биссектрисе CC1 (Определение 2 статьи Биссектриса угла. Свойства).

Точка пересечения биссектрис треугольника называется инцентром треугольника. Инцентр треугольника является центром вписанной в треугольник окружности (Рис.4).

Доказательство следует из теоремы 1, поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC и, следовательно, является центром окружности равной OK=OL=OM.

Длина биссектрисы треугольника

Рассмотрим треугольник на Рис.5.

Длина биссектрисы треугольника можно вычислить следующими формулами:

где p − полупериметр треугольника ABC, \( \small \gamma -\) угол между биссектрисой \( \small l_c\) и вершиной \( \small h_c:\)

,

Доказательство. 1) Из теоремы Стюарта следует:

(1)

А из теоремы о биссектрисе треугольника следует, что если lc является биссектрисей треугольника ABC (Рис.5), то имеет место следующее соотношение:

(2)

Поскольку то (2) можно переписать так:

(3)

Найдем x из (3):

(4)

Тогда:

или

(5)

Подставим (4) и (5) в (1):

или

.(6)

Cледовательно

.Конец доказательства

Доказательство. 2) Подставим (4) и (5) в (6):

,
.(7)

Тогда

.Конец доказательства(8)

Доказательство. 3) Сделаем следующее обозначение:

.(9)

Сделаем преобразования формулы (7), учитывая (9):

.

Следовательно

.Конец доказательства(10)

Доказательство. 4) Для доказательства четвертой формулы, снова обратимся к рисунке Рис.5. Запишем формулы площадей треугольников ABC, ADC и BDC:

,
,
.

Учитывая, что , получим:

или

.

Тогда

.(11)

Для \( \small \sin C \) применим формулу синуса двойного угла:

.(12)

Подставляя (12) в (11) получим:

.

то есть

.Конец доказательства(13)

Доказательство. 5) Докажем пятую формулу. Из вершины C проведена вершина CH. Имеем прямоугольный треугольник CHD, для которого имеет место следующее равенство:

.

Тогда

.

Остается показать, что .

Поскольку биссектриса lc делит угол C пополам, то:

.(14)

Далее

.

Тогда

.(15)

Подставляя (14) в (15), получим:

или

.Конец доказательства