Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Теорема 1. Если две паралленльные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Доказательство. Пусть параллельные прямые a и b пересечены секущей c (Рис. 1). Докажем,что . Предположим, что . Отложим от луча MN угол QMN, равной углу 2 так, чтобы углы QMN и 2 были накрест лежащие при пересечении прямых QM и b секущей MN. Поскольку , то . Получили, что через точку M проходят две прямые, параллельные прямой b, что противоречит аксиоме параллельных прямых (через точку не лежащую на данной прямой проходит только одна прямая, праллельная данной). Следовательно .

Следствие 1. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Доказательство. Пусть прямые a и b параллельны (Рис. 2) и пусть (т.е. ). Прямая a пересекает прямую b (поскольку ). Но углы 1 и 2 накрест лежащие, следовательно они равы. Т.е. . Следовательно прямые c и b перпендикулярны.

Теорема 2. Если две паралленльные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Доказательство. Пусть параллельные прямые a и b пересечены секущей c (Рис.3). Тогда по теореме 1 накрест лежащие углы равны: . Углы 2 и 3 вертикальные, т.е. . Из и имеем . То есть при пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны.

Теорема 3. Если две паралленльные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

Доказательство. Пусть параллельные прямые a и b пересечены секущей c (Рис.3). Покажем, что . Накрест лежащие углы равны: . Углы 3 и 4 смежные. Поэтому . Тогда .