С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти площадь ромба по известным элементам. Для нахождения площади ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку "Вычислить". Теоретическую часть смотрите ниже.
Пусть задан ромб ABCD (Рис.1). Выведем формулу вычисления площади ромба через сторону и угол.
 |
Проведем диагональ AC. Тогда ромб делится на два треугольника ABC и ADC. Противолежащие углы ромба равны (свойство 1 статя Ромб). Поэтому треугольники ABC и ADC равны по двум сторонам и углу между ними. Площадь треугольника ABC по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:
| \(\small S=AB \cdot BC \cdot \sin \alpha \) |
или, учитывая, что AB=BC=a:
| \(\small S_{ABC}=\frac {\large 1}{\large 2}a^2 \cdot \sin \alpha .\) |
Аналогично, площадь треугольника ADC вычисляется по формуле
| \(\small S_{ADC}= \frac {\large 1}{\large 2}a^2 \cdot \sin \alpha .\) |
Поэтому площадь ромба равна:
| \(\small S=S_{ABC}+S_{ADC}=a^2 \cdot \sin \alpha .\) |
или
| \(\small S=a^2 \cdot \sin \alpha .\) | (1) |
Пусть известны диагонали d1 и d2 ромба ABCD (Рис.2). Выведем формулу вычисления площади ромба через диагонали.
 |
Поскольку диагонали ромба перепендикулярны и точкой пересечения делятся пополам (свойства 6 и 5 ромба), то они разделяют ромб на четыре прямоугольных треугольника. Тогда эти прямоугольные треугольники равны по двум катетам: \( \small \frac{d_1}{2} \) и \( \small \frac{d_2}{2} \).
Площадь прямоугольного треугольника AOB равна:
| \(\small S_{AOB}=\frac{\large 1}{\large 2} \cdot \frac{\large d_1}{\large 2} \cdot \frac{\large d_2}{\large 2}\) \(\small =\frac{\large d_1 \cdot d_2}{\large 8} .\) |
Тогда площадь ромба равна:
| \(\small S=4 \cdot S_{AOB}= 4 \cdot \frac{\large d_1 \ \cdot \ d_2}{\large 8} \) |
или
| \(\small S= \frac{\large d_1 \ \cdot \ d_2}{\large 2} .\) | (2) |
 |
Пусть известны сторона a и высота h ромба (Рис.3). Так как ромб является параллелограммом, то площадь ромба вычисляется по формуле площади параллелограмма:
| \(\small S= a\cdot h.\) | (3) |
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и противолежащий диагональ d=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления площади ромба.
 |
Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено в параграфе 2, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Найдем площадь одного из них:
| \(\small S_{AOB}= \frac{\large 1 }{\large 2} \cdot AO \cdot OB .\) | (3) |
Но
| \(\small \frac{\large OB }{\large AO} = \mathrm{ctg} \ \angle ABO \) \(\small = \mathrm{ctg} \ \frac{\large \alpha}{\large 2} \) |
или
| \(\small OB= AO \cdot \mathrm{ctg} \ \frac{\large \alpha}{\large 2} .\) | (4) |
Подставим (4) в (3):
| \(\small S_{AOB}= \frac{\large 1 }{\large 2} \cdot AO \cdot AO \cdot \mathrm{ctg} \ \frac{\large \alpha}{\large 2}.\) |
или, учитывая что \( \small AO=\frac{\large d}{\large 2},\) получим:
| \(\small S_{AOB}= \frac{\large d^2 }{\large 8} \cdot \mathrm{ctg} \ \frac{\large \alpha}{\large 2}.\) | (5) |
Тогда площадь ромба равна:
| \(\small S= 4 \cdot S_{AOB}=\frac{\large d^2 }{\large 2} \cdot \mathrm{ctg} \ \frac{\large \alpha}{\large 2}.\) | (6) |
Пусть известны один из углов α=∠BAD ромба и диагональ из данного угла d=AC (Рис.5). Выведем формулу вычисления площади ромба.
 |
Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено в параграфе 2, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Найдем площадь одного из них:
| \(\small S_{AOB}= \frac{\large 1 }{\large 2} \cdot AO \cdot OB .\) | (7) |
Но
| \(\small \frac{\large OB }{\large AO} = \mathrm{tg} \ \angle BAO \) \(\small = \mathrm{tg} \ \frac{\large \alpha}{\large 2} \) |
или
| \(\small OB= AO \cdot \mathrm{tg} \ \frac{\large \alpha}{\large 2} .\) | (8) |
Подставим (8) в (7):
| \(\small S_{AOB}= \frac{\large 1 }{\large 2} \cdot AO \cdot AO \cdot \mathrm{tg} \ \frac{\large \alpha}{\large 2}.\) |
или, учитывая что \( \small AO=\frac{\large d}{\large 2},\) получим:
| \(\small S_{AOB}= \frac{\large d^2 }{\large 8} \cdot \mathrm{tg} \ \frac{\large \alpha}{\large 2}.\) | (9) |
Тогда площадь ромба равна:
| \(\small S= 4 \cdot S_{AOB}=\frac{\large d^2 }{\large 2} \cdot \mathrm{tg} \ \frac{\large \alpha}{\large 2}.\) | (10) |
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и радиус r вписанной в ромб окружности (Рис.6). Выведем формулу вычисления площади ромба.
 |
Как мы отметили выше, диагонали разделяют ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. В частности
| \( \small ⊿AOB=⊿ BOC \) | (11) |
Тогда \( \small \angle BAO=\angle BCO=90°-\frac{ \large \alpha }{\large 2} \). Треугольники AKO и CLO также прямоугольные. Следовательно
| \( \small \angle 1=90°- \angle BAO \) \( \small =90°- (90°-\frac{ \large \alpha }{\large 2}) \) \( \small =\frac{ \large \alpha }{\large 2}, \) | (12) |
| \( \small \angle 2=90°- \angle BCO \) \( \small =90°- (90°-\frac{ \large \alpha }{\large 2}) \) \( \small =\frac{ \large \alpha }{\large 2}. \) | (13) |
Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника AOB:
| \( \small \frac{\large AO}{\large \sin \frac{ \alpha }{2}}= \frac{\large OB}{\large \sin \left( 90°-\frac{ \alpha }{ 2} \right) }\) \( \small =\frac{\large OB}{\large \cos \frac{ \alpha }{ 2} } \) |
Откуда
| \( \small OB=\frac{\large AO \ \cdot \ \cos \frac{ \alpha }{2} }{\large \sin \frac{ \alpha }{2}} \) | (14) |
Для прямоугольного треугольника AKO имеем:
| \( \small \frac{\large KO}{\large AO}=\cos \angle 1 \) |
или, учитывая (12) и KO=r:
| \( \small AO= \frac{\large r}{\large \cos \frac{ \alpha }{2}} \) | (15) |
Подставляя (15) в (14), получим:
| \( \small OB=\frac{\large r \ \cdot \ \cos \frac{ \alpha }{2} }{\large \cos \frac{ \alpha }{2}\ \cdot \ \sin \frac{ \alpha }{2}} \) |
или
| \( \small OB=\frac{\large r }{\large \sin \frac{ \alpha }{2}} \) | (16) |
Найдем площадь треугольника AOB:
| \( \small S_{AOB}=\frac{\large 1 }{\large 2} \cdot AO \cdot OB\) | (17) |
Подставляя (15) и (16) в (17), получим:
| \( \small S_{AOB}=\frac{\large 1 }{\large 2} \cdot \frac{\large r}{\large \cos \frac{ \alpha }{2}} \cdot \frac{\large r }{\large \sin \frac{ \alpha }{2}}\) \( \small =\frac{\large r^2}{\large \sin \alpha}.\) |
Тогда площадь ромба равна:
| \( \small S=4 \cdot S_{AOB}=\frac{\large 4r^2}{\large \sin \alpha}.\) | (18) |
Пусть известны сторона a=AB ромба и радиус r вписанной в ромб окружности (Рис.7). Найдем площадь ромба.
 |
Прямая AB является касательной к окружности вписанной в ромб. Тогда \( \small OK ⊥ AB \). Прямая CD является касательной к окружности вписанной в ромб. Тогда \( \small OL ⊥ CD \). Поэтому треугольники BKO и DLO прямоугольные. Эти треугольники равны по гипотенузе и катету (BO=OD, KO=OL). Тогда \( \small \angle BOK=\angle DOL \). Углы BOK и KOD смежные. Следовательно \( \small \angle KOD=180°-\angle BOK. \) \( \small \angle KOD+\angle DOL \) \( \small =180°-\angle BOK+\angle DOL=180°. \) Получили, что отрезки KO и OL находятся на одной прямой. То есть KL=KO+OL=2r. Поскольку \( \small KL ⊥ AB, \) то является высотой ромба. Площадь ромба по стороне и высоте вычисляется из формулы (3). Тогда имеем:
| \( \small S=AB \cdot KL=a \cdot 2r\) |
или
| \( \small S=2a r. \) | (19) |