Вектором называется направленный отрезок прямой евклидова пространства, у которого один конец (точка A) называется началом вектора, а другой конец (точка B) концом вектора (Рис. 1). Векторы обозначаются: 
Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым вектором и обозначается 0.
Пример. Пусть в двухмерном пространстве начало вектора имеет координаты A(12,6) , а конец вектора - координаты B(12,6). Тогда вектор 
является нулевым вектором.
Длина отрезка AB называется модулем (длиной, нормой) вектора и обозначается |a|. Вектор длины, равной единице, называется единичным вектором. Кроме модуля вектор характеризуется направлением: вектор имеет направление от A к B. Вектор 
называется вектором, противоположным вектору .
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. На рисунке Рис. 3 красные векторы коллинеарны, т.к. они лажат на одной прямой, а синие векторы коллинеарны, т.к. они лежат на параллельных прямых. Два коллинеарных вектора называются одинаково направленными, если их концы лежат по одну сторону от прямой, соединяющей их начала. Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными, если их концы лежат по разные стороны от прямой, соединяющей их начала. Если два коллинеарных вектора лежат на одной прямой, то они называются одинаково направленными, если один из лучей, образованным одним вектором полностью содержит луч, образованным другим вектором. В противном случае векторы называются противоположно направленными. На рисунке Рис.3 синие векторы одинаково направлены, а красные векторы противоположно направлены.
Два вектора называются равными если они имеют равные модули и одинаково направлены . На рисунке Рис.2 векторы равны т.к. их модули равны и имеют одинаковое направление.
Векторы называются компланарными, если они лежат на одной плоскости или в параллельных плоскостях.
В n мерном векторном пространстве рассмотрим множество всех векторов, начальная точка которых совпадает с началом координат. Тогда вектор можно записать в следующем виде:
 |
(1) |
где x1, x2, ..., xn координаты конечной точки вектора x.
Вектор, записанный в виде (1) называется вектор-строкой, а вектор, записанный в виде
 |
(2) |
называется вектор-столбцом.
Число n называется размерностью (порядком) вектора. Если 
то вектор называется нулевым вектором (т.к. начальная точка вектора 
). Два вектора x и y равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы:
Суммой x+y векторов x и y называется вектор, проведенный из начала x к концу у, если вектор у параллельно перемещен так, что конец x и начало y совмещены.
Произведением вектора x на число β (x≠0, β≠0) называется вектор, модуль которого равен |x||β| и который направлен в ту же сторону, что и вектор x, если β>0, и в противоположную, если β<0. Если x=0 и (или) β=0, то βx=0.
Два вещественных вектора называются ортогональными, если они удовлетворяют соотношению
(x,y)=0.