Формулы приведения тригонометрических функций онлайн

Формулы приведения тригонометрических функций − теория, примеры и решения

Докажем формулы приведения тригонометрических функций для аргумента (или ) . (Здесь и далее все углы α острые т.е. меньше 90° (или меньше )). На декартовой прямоугольной системе координат проведем окружность с радиусом 1 и возьмем точки M₁ и M₂ так, чтобы , . Опустив перпендикуляры из точек M₁ и M₂ на ось OX, получим прямоугольные треугольники и (Рис.1).

Поскольку , то . Очевидно, что , так как гипотенузы этих прямоугольных треугольников равны и . Из равенства этих треугольников следует:

Из определений синуса и косинуса (о синусе и косинусе смотрите на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор) имеем:

или

Выведем, далее формулы приведения тригонометрических функций тангенс и котангенс для аргумента (Рис.2).

Тангенсу угла соответствует ординат точки Q, что овечает отрезку QA, взятой со знаком минус (подробнее о тангенсе и котангенсе смотрите на странице Тангенс и котангенс. Онлайн калькулятор ).

Котангенсу угла α соответствует абсцис точки P, что отвечает отрезку BP:

Прямоугольные треугольники QAO и PBO равны, так как, , . Тогда .

Из вышеизложенного следует:

или

Котангенс угла − это абсцис точки R, т.е.

Тангенс угла α − это ординат точки S, т.е.

Прямоугольные треугольники RBO и SAO равны, т.к. , , . Тогда .

Таким образом можно вывести формулу приведения функции котангенс для угла :

или

Выведем формулы приведения тригонометрических функций синус и косинус для угла (Рис.3):

Из следует и .

Тогда

или

Аналогично, выведем формулы приведения тригонометрических функций тангенс и котангенс для угла (Рис.4):

Поскольку , следовательно . Тогда

или

Так как , следовательно . Тогда

или

Аналогично выводятся формулы приведения тригонометрический функций для углов , , .

Как запомнить формулы приведения?

Представленный выше онлайн калькулятор позволяет получить формулы приведения тригонометрических функциий. Отметим, однако, что зная несколько простых правил, эти формулы легко запомнить.

Во первых отметим, что угол α − это острый угол (т.е. меньше 90° или меньше ).

1. Аргумент функции должен быть представлен в виде , (или в градусах , ).

2. Для аргументов тригонометрическая функция преобразуемого выражения меняется на конфункцию (т.е. синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). Для аргументов , тригонометрическая функция преобразуемого выражения не меняется.

3. Определяется знак исходной функций для данного аргумента. Полученая функция в правой части выражения будет иметь такой же знак.

Знаки тригонометрических функций в разных четвертях единичной окружности представлены в рисунках (Рис.5, Рис.6).

Отметим, что угол α может быть также отрицательным. Все вышеизложенные соображения справедливы и в этом случае.

Пример 1. Записать формулу приведения для .

Решение. Согласно правилу 2 функция синус изменится на кофункцию (косинус). Функция синус для аргумента имеет знак "+" (угол находится во второй четверти, где знак синуса положительный (Рис.5)). Тогда получим следующую формулу:

Пример 2. Записать формулу приведения для .

Решение. Согласно правилу 2 функция тангенс останется на правой стороне формулы неизменним. Функция тангенс для аргумента имеет знак "−" (угол находится во второй четверти, где знак тангенса отрицательный (Рис.6)). Тогда получим:

Пример 3. Вычислить при помощи формул приведения следующее выражение .

Решение. Так как функция синус периодичная функция с основным периодом 2π (360°), то

Далее применяя формулу приведения, получим :

Пример 4. Вычислить при помощи формул приведения следующее выражение .

Решение. Так как функция косинус периодичная функция с основным периодом 2π (360°), то

Далее применяя формулу приведения, получим :

Ометим, что в последнем выражении аргумент 135° можно представить в виде 135°=90°+45°. Но конечный результат от этого не изменится: