Теорема косинусов. Доказательство

Теорема 1 (теорема косинусов). Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

То есть для любого треугольника ABC со сторонами a, b, c справедливо равенство:

Доказательство. Пусть задан треугольник ABC. Проведем высоту h из вершины C на сторону c=AB (Рис.1).

Теорема Пифагора для прямоугольных треугольников ADC и CDB имеет вид:

Из (2) и (3) имеем:

Тогда:

или

Учитывая, что: , получим:

Теорема доказана.

Доказательство (по векторам). Пусть задан треугольник ABC. Представим вектор AC в виде суммы векторов AB и BC (Рис.2).

Имеем:

Тогда

где − скалярное произведение векторов и .

Используя дистрибутивность скалярного произведения векторов относительно сложения и коммутативность скалярного произведения векторов уравнение (5) можно преобразовать так:

Поскольку

то получим

Теорема доказана.

Примеры и решения

Задание 1. В треугольнике ABC, a=16, b=10, угол между ними . Найти сторону c.

Решение. Из теоремы косинусов, имеем:

Подставляя значения сторон a, b и угла C в (6), получим:

Ответ: .

Задание 2. В треугольнике ABC, a=8, b=14, c=12. Найти углы α, β, γ (Рис.3).

Решение. Из теоремы косинусов, имеем:

Откуда получим:

Подставляя значения a, b, c в (7), (8), (9), получим:

Ответ: , , .