Площадь треугольника онлайн

Площадь треугольника по основанию и высоте

Любой из сторон треугольника можно называть основанием треугольника. Если основание выбрана, то под словом "высота" понимают высоту треугольника, проведенную к основанию (Рис.1):

Теорема 1. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Доказательство. Пусть AC основание треугольника ABC (Рис.2).

Проведем высоту BH. Обозначим через S площадь треугольника. Докажем, что

Из вершины B проведем прямую, параллельную стороне AC, а из C − прямую, параллельную стороне AB. Поскольку \( \small AC \ || \ BD \) и \( \small AB\ || \ CD \), то ABDC является параллелограммой и, следовательно, \( \small AC \ = \ BD \), \( \small AB\ = \ CD . \) Тогда треугольники ABC и BCD равны по трем сторонам (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников). Так как площадь параллелограмма ABDC равна \( \small S_{ABDC}=AC \cdot BH, \) то площадь треугольника ABC (и BCD)равна половине площади параллелограмма:

Следствие 1. Если высоты треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Доказательство. Пусть площадь треугольников ABC и A₁B₁C₁ равны:

где AC и A₁C₁ основания треугольников ABC и A₁B₁C₁, соответственно, а h их высоты.

Обозначим через k отношение

Тогда

То есть отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований.

Следствие 2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Действительно. Поскольку в прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны друг другу, то один из них можно определить как основание, а другой − как высоту. Тогда по теореме 1, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Теорема 2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Доказательство. Обозначим через S площадь треугольника ABC и пусть a=BC, b=AC (Рис.3). Докажем, что

Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле, полученной выше (теорема 1):

где h − высота треугольника.

Из теоремы синусов имеем:

Подставляя (2) в (1), получим:

или

Площадь треугольника по стороне и прилежащим двум углам

Пусть известна сторона треугольника и две прилежащие углы (Рис.4).

Найдем формулу площади этого треугольника. Обозначим через S площадь треугольника. Если у треугольника известны два угла, то можно найти и третий угол:

Найдем сторону b используя теорему синусов:

В предыдующем параграфе мы вывели площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними. Подставляя (4) и (5) в (3), получим:

Учитывая формулы приведения тригонометрических функциий, получим:

Площадь треугольника по трем сторонам. Формула Герона

Для нахождения площади треугольника по трем сторонам используют формулу Герона:

где a, b, c − стороны треугольника, а p − полупериод треугольника:

Доказательство формулы Герона. На рисунке 5 треугольник ABC имеет стороны a=BC, b=AC, c=AB. Проведем высоту h=AH. Обозначим x=CH. Тогда BH=a−x. Применим теорему Пифагора для треугольников AHC и AHB:

Из (8) и (9) следует:

Откуда находим x:

Подставляя (10) в (8) найдем h:

Тогда площадь треугольника равна:

Преобразовав (12) получим формулу (7):

Площадь треугольника по трем сторонам и радусу описанной окружности

Пусть известны все три стороны треугольника и радиус описанной окружности (Рис.6). Докажем, что площадь треугольника равна: \( \small S=\frac{\large abc}{\large 4R}. \)

Из теоремы синусов имеем:

Откуда;

Подставляя (13) в (3), получим:

Смотрите также:

• Площадь прямоугольного треугольника онлайн
• Площадь равностороннего треугольника онлайн
• Площадь равнобедренного треугольника онлайн