Определение 1. Биссектриса угла − это луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол в два равных угла.
Докажем следующую теорему:
Теорема 1. 1) Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. 2) Каждая точка, которая находится внутри угла и равноудалена от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
 |
Доказательство. 1) На биссектрисе угла BAC отметим произвольную точку D. Проведем от точки D перпендикуляры DK и DL к прямым AB и AC, соответственно (Рис.1). Докажем, что DK=DL. Рассмотрим прямоугольные треугольники AKD и ALD. Они равны по гипотенузе и острому углу т.е. \( \small ∠1=∠2 \) , AD общая (см. статью Прямоугольный треугольник). Следовательно DK=DL.
2) Пусть точка D лежит внутри угла BAC и равноудалена от его сторон AB и AC. Докажем, что AD является биссектрисей угла BAC (Рис.1). Проведем перпендикуляры DK и DL к прямым AB и AC. Прямоугольные треугольники AKD и ALD равны по катету и гипотенузе. Действительно, гипотенуза AD общая и по условию DK=DL. Но тогда прямоугольные треугольники AKD и ALD равны. Следовательно \( \small ∠1=∠2 \). А это означает, что луч AD является биссектрисей угла BAC. 
Исходя из теоремы 1, можно дать другое определение биссектрисы:
Определение 2. Биссектриса угла − это геометрическое место точек внути угла, равноудаленных от сторон этого угла.
Свойство 1. Угол между биссекстрисами смежных углов равна 90°.
 |
Доказательство. Даны смежные углы CAB и BAD (Рис.2). Покажем, что \( \small ∠EAF=90° \) или 
. Действительно:
   . |
Тогда
 |