Уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно заданной плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через прямую L1 параллельно другой прямой L2 (прямые L1 и L2 не параллельны). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямых (канонический или параметрический) введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Уравнение плоскости проходящей через прямую перпендикулярно заданной плоскости − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L

. (1)

и плоскость α1:

. (2)

Пусть плоскость α1 не перпендинулярно прямой L.

Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через прямую L перпендикулярно плоскости α1 (Рис.1).

Решение. Уравнение прямой L проходит через точку M0(x0, y0, z0) и имеет направляющий вектор q={m, p, l}. Уравнение плоскости α1 и имеет нормальный вектор n1={A1, B1, C1}.

Запишем уравнение искомой плоскости α:

Ax+By+Cz+D=0. (3)

Искомая плоскость α проходит через прямую L, следовательно она проходит через точку M0(x0, y0, z0). Тогда справедливо следующее равенство:

Ax0+By0+Cz0+D=0. (4)

и поскольку прямая L принадлежит этой плоскости, то нормальный вектор n={A, B, C} и направляющий вектор q={m, p, l} ортогональны:

Am+Bp+Cl=0. (5)

Для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна плоскости α1, нормальные векторы этих плоскостей должны быть ортогональными, т.е. скалярное произведение этих векторов должно быть равным нулю:

AA1+BB1+CC1=0 (6)

Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четыремя неизвестными (4)−(6). Представим систему линейных уравнений (4)−(6) в матричном виде:

(7)

Решив однородную систему линейных уравнений (7) найдем частное решение. (Как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн). Подставляя полученные коэффициенты A, B, C и D в уравнение (3), получим уравнение плоскости, проходящей через прямую L перпендикулярно плоскости α1.

Пример 1.Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L:

(8)

перпендикулярно плоскости α1 :

(9)

Решение. Прямая L проходит через точку M0(x0, y0, z0)=M0(−4, 1, 2) и имеет направляющий вектор

q={m, p, l}={7, 4, 1}

Плоскость α1 имеет нормальный вектор n1={A1, B1, C1}={1, 2, 5}.

Уравнение искомой плоскости α можно записать следующей формулой:

Ax+By+Cz+D=0,

где n={A, B, C} нормальный вектор плоскости.

Поскольку плоскость α проходит через прямую L , то она проходит также через точку M0(x0, y0, z0)=M0(−4, 1, 2), тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

Ax0+By0+Cz0+D=0 (10)

а условие принадлежности прямой L к искомой плоскости α представляется следующим равенством:

Am+Bp+Cl=0. (11)

Так как плоскость α должна быть перпендикулярна плоскости α1, то должна выполнятся условие:

AA1+BB1+CC1=0 (12)

Подставим значения x0, y0, z0, m, p, l, A1, B1, C1, в (10),(11) и (12):

(13)
(14)
(15)

Представим эти уравнения в матричном виде:

(16)

Решим систему линейных уравнений (16) отностительно A, B, C, D:

(17)

Таким образом искомая плоскость имеет нормальный вектор n={A, B, C}={9/43,−17/43,5/43}. Тогда подставляя в уравнение плоскости

Ax+By+Cz+D=0 (18)

значения A, B, C, D, получим:

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 43:

(19)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) перпендикулярно плоскости (2) имеет вид (19).

Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L:

(20)

перпендикулярно плоскости α1 :

(21)

Решение. Прямая L проходит через точку M0(x0, y0, z0)=M0(−3, 1, 5) и имеет направляющий вектор

q={m, p, l}={2, 4, −1}

Плоскость α1 имеет нормальный вектор n1={A1, B1, C1}={−1, 1, 2}.

Уравнение искомой плоскости α можно записать следующей формулой:

Ax+By+Cz+D=0,

где n={A, B, C} нормальный вектор плоскости.

Так как плоскость α проходит через прямую L , то она проходит также через точку M0(x0, y0, z0)=M0(−3, 1, 5), тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

Ax0+By0+Cz0+D=0 (22)

а условие принадлежности прямой L к искомой плоскости α представляется следующим равенством:

Am+Bp+Cl=0. (23)

Так как плоскость α должна быть перпендикулярна плоскости α1, то должна выполнятся условие:

AA1+BB1+CC1=0 (24)

Подставим значения x0, y0, z0, m, p, l, A1, B1, C1, в (22),(23) и (24):

(25)
(26)
(27)

Представим эти уравнения в матричном виде:

(28)

Решим систему линейных уравнений (28) отностительно A, B, C, D:

(29)

Таким образом искомая плоскость имеет нормальный вектор n={A, B, C}={3/2,−1/2,1}. Тогда подставляя в уравнение плоскости

Ax+By+Cz+D=0 (30)

значения A, B, C, D, получим:

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 43:

(31)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) перпендикулярно плоскости (2) имеет вид (31).