Точка пересечения прямых на плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямых на плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямых задайте вид уравнения прямых ("канонический", "параметрический" или "общий"), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Точка пересечения прямых на плоскости − теория, примеры и решения

1. Точка пересечения прямых, заданных в общем виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:

L1:   A1x+B1y+C1=0,(1)
L2:   A2x+B2y+C2=0(2)

где n1={A1, B1} и n2={A2, B2} − нормальные векторы прямых L1 и L2, соответственно.

Для нахождения точки пересечения прямых (1) и (2) нужно решить систему линейных уравнений (1) и (2) относительно переменных x,y. Для этого запишем систему (1),(2) в матричном виде:

(3)

Построим расширенную матрицу:

(4)

Приведем (4) к верхнему диагональному виду. Пусть A1≠0 . Тогда сложим строку 2 со строкой 1, умноженной на −A2/A1:

(5)

где

Если B'2=0 и С'2=0, то система линейных уравнений имеет множество решений. Следовательно прямые L1 и L2 совпадают. Если B'2=0 и С'2≠0, то система несовместна и, следовательно прямые параллельны и не имеют общей точки. Если же B'2≠0, то система линейных уравнений имеет единственное решение. Из второго уравнения находим y: y=С'2/B'2 и подставляя полученное значение в первое уравнение находим x: x=−С1B1y. Получили точку пересечения прямых L1 и L2: M(x, y).

Подробнее о решении систем линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн.

2. Точка пересечения прямых, заданных в каноническом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:

(6)
(7)

где M1(x1, y1) и M2(x2, y2) − точки, лежащие на прямых L1 и L2, соответственно, а q1={m1, p1} и q2={m2, p2} − направляющие векторы прямых L1 и L2, соответственно.

Приведем уравнение L1 к общему виду. Сделаем перекрестное умножение в уравнении (6):

p1(xx1)=m1(yy1)

Откроем скобки и сделаем преобразования:

p1xm1yp1x1+m1y1=0

Обозначив A1=p1, B1=−m1, C1=−p1x1+m1y1, получим общее уравнение прямой (6):

A1x+B1y+C1=0(8)

Аналогичным методом получим общее уравнение прямой (7):

A2x+B2y+C2=0(9)

Терерь можно найти точку пересечения прямых L1 и L2 методом, описанным в параграфе 1.

3. Точка пересечения прямых, заданных в параметрическом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2 в параметрическом виде:

(10)
(11)

где M1(x1, y1) и M2(x2, y2) − точки, лежащие на прямых L1 и L2, соответственно, а q1={m1, p1} и q2={m2, p2} − направляющие векторы прямых L1 и L2, соответственно.

Приведем уравнение прямой L1 к каноническому виду. Для этого из уравнений (10) найдем параметр t:

(12)

Из уравнений (12) следует:

Аналогичным образом можно найти каноническое уравнение прямой L2:

Как найти точку пересечения прямых, заданных в каноническом виде описано выше.

4. Точка пересечения прямых, заданных в разных видах.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:

L1:   A1x+B1y+C1=0,(13)
(14)

где n={A1, B1} нормальный вектор прямой L1, q={m, p} − направляющий вектор прямой L2 .

Найдем точку пересечения прямых L1 и L2. Для этого подставим x=x2+mt, y=y2+pt в (13):

A1(x2+mt)+B1(y2+pt)+C1=0,(15)

Найдем t:

A1x2+A1mt+B1y2+B1pt+C1=0,
(16)

Если числитель и знаменатель в (16) одновременно равны нулю, то любое значение t удовлетворяет уравнению (15), следовательно прямые L1 и L2 совпадают. Если знаменатель равен нулю а числитель отличен от нуля, то прямые L1 и L2 не пересекаются, т.е. они параллельны.

Пусть знаменатель не равен нулю. Подставляя полученное значение t в (14), получим координаты точки пересечения прямых L1 и L2.

5. Примеры нахождения точки пересечения прямых на плоскости.

Пример 1. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

L1:  2x+y+4=0,(17)
L2:  x−3y+2=0.(18)

Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 нужно решить систему линейных уравнений (17) и (18). Представим уравнения в матричном виде:

(19)

Решим систему линейных уравнений отностительно x, y. Для этого воспользуемся методом Гаусса. Получим:

Ответ. Точка пересечения прямых L1 и L2 имеет следующие координаты:

M (−2, 0).

Пример 2. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

L1:  2x+3y+4=0,(20)
(21)

Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 нужно решить систему линейных уравнений (20) и (21). Представим уравнения в матричном виде:

(22)

Для решения (22) воспользуемся методом Гаусса. Получим:

где λ− произвольное действительное число.

Имеем больше одного решения. Это означает, что прямые L1 и L2 совпадают.

Ответ. Прямые L1 и L2 совпадают.

Пример 3. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

L1:  −5x+y+9=0,(23)
L2:  −10x+2y−3=0,(24)

Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 нужно решить систему линейных уравнений (23) и (24). Представим уравнения в матричном виде:

(25)

Применив метод Гаусса получим, что система (25) несовместна. Следовательно эти прямые не пересекаются, т.е. они параллельны.

Ответ. Прямые L1 и L2 не имеют общую точку, т.е. они параллельны.

Пример 4. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

(26)
L2:  x+2y−9=0,(27)

Приведем, сначала, уравнение прямой (26) к общему виду:

2(x−3)=y+5
2xy−11=0(28)

Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 нужно решить систему линейных уравнений (28) и (27). Представим уравнения в матричном виде:

(29)

Решим систему линейных уравнений отностительно x, y:

Ответ. Точка пересечения прямых L1 и L2 имеет следующие координаты:

.