Угол между прямой и плоскостью

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямой и плоскостью. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямой и плоскостью введите элементы уравнения и плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить". Теоретическую часть смотрите ниже.

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Угол между прямой и плоскостью − теория, примеры и решения

В данной статье мы рассмотрим задачу определения угла φ между прямой L, заданной каноническим уравнением

(1)

и плоскостью P, заданной общим уравнением

Ax+By+Cz+D=0.(2)

где q=(m, l, p) направляющий вектор прямой L, а n=(A, B, C) нормальный вектор плоскости P.

Нормальный вектор плоскости n и направляющий вектор прямой q могут составить острый угол, прямой угол и тупой угол.

Вариант 1. Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q острый (Рис.1):ψ<90°. Тогда имеем:

φ+ψ=90°.
cosψ=cos(90−φ)=sinφ.(3)

Вариант 2.Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q:ψ=90°. Тогда имеем:

φ=0.
0=cosψ=sinφ.

Вариант 3.Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q тупой (Рис.2):ψ>90°.

Тогда имеем:

ψ−φ=90°.

cosψ=cos(90+φ)=−sinφ.(4)

Поскольку угол φ между прямой и плоскостью всегда меньше или равно 90°, то

sinφ=⃒ cosψ ⃒(5)

Из определения скалярного произведения векторов имеем:

(6)

Из уравнений (5) и (6) можно найти синус угла φ

(7)

или

(8)

Из формулы (8) можно найти угол между прямой L и плоскостью P.

Пример 1. Найти угол между прямой L:

(9)

и плоскостью P:

(10)

Решение.

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=(m, p, l)=(1, 3, 2). Нормальный вектор плоскости P имеет вид n=(A, B, C)=(2, 6, 1).

Поскольку угол φ между прямой L и плоскостью P является дополнительным к углу ψ между направляющим вектором прямой q=(m,p,l) и нормальным вектором плоскости n=(A,B,C), то cosψ=sinφ. Из определения скалярного произведения (q,n)=|q||n|cosψ. Тогда для угла между прямой L и плоскостью P получим следующую формулу:

.(11)

Подставляя значения A, B, C, m, p, l в (11), получим:

.

Упростим и решим:

.

Найдем угол φ:

Ответ:

.

 

Пример 2. Найти угол между прямой L:

(12)

и плоскостью P:

(13)

Решение.

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=(m, p, l)=(4, 1, 3). Нормальный вектор плоскости P имеет вид n=(A, B, C)=(8, 2, 6).

Поскольку угол φ между прямой L и плоскостью P является дополнительным к углу ψ между направляющим вектором прямой q=(m,p,l) и нормальным вектором плоскости n=(A,B,C), то cosψ=sinφ. Из определения скалярного произведения (q,n)=|q||n|cosψ. Тогда для угла между прямой L и плоскостью P получим следующую формулу:

.(14)

Подставляя значения A, B, C, m, p, l в (14), получим:

.

Упростим и решим:

.

Найдем угол φ:

Ответ:

.

Замечание. Мы могли бы избежать вышеизложенных вычислений, если заметили, что векторы n и q коллинеарны. Действительно:

2·(4, 1, 3)=(8, 2, 6).

В этом случае прямая L и плоскость P перпендикулярны, т. е. угол между ними равен 90°.