Расстояние от точки до прямой онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние от точки до прямой. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния от точки до прямой, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точки и элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Расстояние от точки до прямой − теория, примеры и решения

Рассмотрим эту задачу в двухмерном и трехмерном пространствах.

1. Расстояние от точки до прямой на плоскости

Пусть в двухмерном пространстве задана точка M0(x0, y0) и прямая L:

,(1)

где q=(m,p) направляющий вектор прямой L.

Найдем расстояние от точки M0 до прямой (1)(Рис.1).

проекция точки на прямую

Алгоритм нахождения расстояния от точки M0 до прямой L содержит следующие шаги:

  • построить прямую L1, проходящую через точку M0 и перпендикулярную прямой L,
  • найти пересечение прямых L и L1(точка M1)
  • найти найти расстояние между точками M0 и M1.

Уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0) имеет следующий вид:

A(xx0)+B(yy0)=0(2)

где n=(A,B) нормальный вектор прямой L1.

Как видно из рисунка Рис.1, для того, чтобы прямая L1 была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n прямой L1, поэтому в качестве нормального вектора прямой L1 достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение прямой L1, представленной уравнением (2) можно записать так:

m(xx0)+p(yy0)=0(3)

Откроем скобки

mx+pymx0py0=0(4)

Для нахождения точки пересечения прямых L и L1, которая и будет проекцией точки M0 на прямую L, можно решить систему из двух уравнений (1) и (3) с двумя неизвестными x и y. Выражая неизвестную x из одного уравнения и подставляя в другое уравнение получим координаты точки M1(x1, y1).

Найдем точку пересечения прямых L и L1 другим методом.

Выведем параметрическое уравнение прямой (1):

(5)

Подставим значения x и y в (4):

m(mt+x')+p(pt+y')−mx0py0=0
m2t+mx'+p2t+py'mx0py0=0
(6)

Мы нашли такое значение t=t', при котором координаты x и y точки на прямой L удовлетворяют уравнению прямой L1(4). Следовательно, подставляя значение t' в (5) получим координаты проекции точки M0 на прямую L:

M1(x1, y1),

где x1=mt'+x', y1=pt'+y'.

Далее находим расстояние между точками M0 и M1 используя формулу:

.(7)

 

Пример 1. Найти расстояние от точки M0(−6, 2) до прямой

(8)

Решение.

Направляющий вектор прямой (8) имеет вид:

q=(2, −1)

Т.е. m=2, p=−1. Из уравнения прямой (8) видно, что она проходит через точку M' (x', y')=(1, 7)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (8) получим тождество 0=0), т.е. x'=1, y'=7. Подставим значения m, p, x0, y0, x', y' в (6):

,

Подставляя значение t в (5), получим:

Вычислим расстояние между точками M0(-6, 2) и M1

Упростим и решим:

Ответ:

Расстояние от точки M0(-6, 2) до прямой (8) :

 

2. Расстояние от точки до прямой в пространстве

Пусть в трехмерном пространстве задана точка M0(x0, y0, z0) и прямая L:

,(9)

где q=(m, p, l) направляющий вектор прямой L.

Найдем расстояние от точки M0 до прямой (9)(Рис.2).

проекция точки на прямую

Алгоритм нахождения расстояния от точки до прямой L содержит следующие шаги:

  • построить плоскость α, проходящую через точку M0 и перпендикулярную прямой L,
  • найти пересечение плоскости α и прямой L(точка M1)
  • найти расстояние между точками M0 и M1.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) имеет следующий вид:

A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0(10)

где n=(A,B,C) нормальный вектор плоскости α.

Как видно из рисунка Рис.2, для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n плоскости α, поэтому в качестве нормального вектора плоскости α достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение плоскости α, представленной уравнением (10) можно записать так:

m(xx0)+p(yy0)+l(zz0)=0

Откроем скобки

mx+py+lzmx0py0lz0=0(11)

Для нахождения точки пересечения плоскости α и прямой L, которая и будет проекцией точки M0 на прямую L, выведем параметрическое уравнение прямой (9):

(12)

Подставим значения x и y в (11):

m(mt+x')+p(pt+y')+l(lt+z')−mx0py0lz0=0
m2t+mx'+p2t+py'+l2t+ly'mx0py0lz0=0
(13)

Мы нашли такое значение t=t', при котором координаты x,y и z точки на прямой L удовлетворяют уравнению плоскости (11). Следовательно, подставляя значение t' в (12) получим координаты проекции точки M0 на прямую L:

M1(x1, y1, , z1),

где x1=mt'+x', y1=pt'+y', z1=lt'+z'.

Далее вычисляем расстояние между точками M0 и M1 используя формулу

,(14)

которое является расстоянием между точкой M0 и прямой (9).

Пример 2. Найти расстояние от точки M0(1, 2, 1) до прямой

(15)

Решение.

Направляющий вектор прямой (15) имеет вид:

q=(2, 4, 6)

Т.е. m=2, p=4, l=−6. Из уравнения прямой (15) видно, что она проходит через точку M' (x', y', z')=(4, 3, 1)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (15) получим тождество 0=0=0), т.е. x'=4, y'=3, z'=1. Подставим значения m, p, l x0, y0, z0 x', y', z' в (13):

Подставляя значение t=t' в (12), получим координаты точки M1:

,
,
.

Далее, используя формулу (14) вычисляем расстояние от точки M0 до прямой (15):

.

Упростим и решим:

.

Ответ:

Расстояние от точки M0(1, 2, 1) до прямой (15) :