С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через данную точку и через данную прямую (точка не лежит на этой прямой). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямой (канонический или параметрический) введите координаты точки и коэффициенты уравнения прямой в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L:
 . |
(1) |
и точка M0(x0, y0, z0), которая не находится на этой прямой.
Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через точку M0 и и через прямую L(Рис.1).
 |
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} имеет следующий вид:
| A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0. | (2) |
Направляющий вектор прямой L имеет вид q={m, p, l}. Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) имеет вид:
| A(x−x1)+B(y−y1)+C(z−z1)=0. | (3) |
Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n={A, B, C} должен быть ортогональным направляющему вектору q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:
| Am+Bp+Cl=0 | (4) |
Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:
| A(x1−x0)+B(y1−y0)+C(z1−z0)=0. | (5) |
Решая совместно уравнения (4) и (5) отностительно коэффициентов A, B, C получим такие значения A, B, C, при которых уравнение (2) проходит через точку M0 и через прямую (1). Для решения систему уравнений (4), (5), запишем их в матричном виде:
 . |
(6) |
Как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн.
Получив частное решение уравнения (6) и подставив полученные значения A, B, C в (2), получим решение задачи.
Пример 1.Найти уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0)=M0(1, 2, 5) и через заданную прямую L:
 |
(7) |
Решение. Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0)=M0(1, 2, 5) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой (2).
Уравнение плоскости α, проходящей через точку M1(x1, y1, z1)=M1(2, 1, −3) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой (3).
Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:
| A(x1−x0)+B(y1−y0)+C(z1−z0)=0. | (8) |
Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:
| q={m, p, l}={−3, 1, 4} |
Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n={A, B, C} должен быть ортогональным направляющему вектору q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:
| Am+Bp+Cl=0 | (9) |
Подставим значения m, p, l, x0, y0, z0, x1, y1, z1 в (8) и (9):
 |
(10) |
 |
(11) |
Решим систему линейных уравнений (10) и (11) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:
 |
(12) |
Решив однородную систему линейных уравнений (12) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:
 |
Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (2), получим:
 |
(13) |
Упростим уравнение (13):
 |
(14) |
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1, 2, 5) и через прямую (7) имеет вид (14).
Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M0(4, 3, −6) и через прямую L, заданной параметрическим уравнением:
 |
(15) |
Решение. Приведем параметрическое уравнение (15) к каноническому виду:
 |
(16) |
Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой:
| A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0. | (17) |
Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=(0, 2, 4). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) имеет вид:
| A(x−x1)+B(y−y1)+C(z−z1)=0. | (18) |
Вычитая уравнение (18) из уравнения (17), получим:
| A(x1−x0)+B(y1−y0)+C(z1−z0)=0. | (19) |
Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:
| q={m, p, l}={−7, 4, 0} |
Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n должен быть ортогональным направляющему вектору прямой L :
| Am+Bp+Cl=0. | (20) |
Подставим значения m, p, l, x0, y0, z0, x1, y1, z1 в (19) и (20):
 |
(21) |
 |
(22) |
Решим систему линейных уравнений (21) и (22) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:
 |
(23) |
Решив однородную систему линейных уравнений (23) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:
 |
Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (17), получим:
 |
(24) |
Упростим уравнение (24):
 |
(25) |
Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 23.
 |
(26) |
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(4, 3, −6) и через прямую (16) имеет вид (26).