Угол между прямыми онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить". Теоретическую часть смотрите ниже.

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

1. Угол между прямыми на плоскости

Прямые заданы каноническими уравнениями

1.1. Определение угла между прямыми

Пусть в двухмерном пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями

,(1.1)

и

,(1.2)

где q1=(m1, p1) направляющий вектор прямой L1, а q2=(m2, p2) направляющий вектор прямой L2.

Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 (рис.1).

,

Из определения скалярного произведения:

,(1.3)

где |q1| и |q2| модули направляющих векторов q1 и q2 соответственно, φ -угол между векторами q1 и q2.

Из выражения (1.3) получим:

.(1.4)

Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ1. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.

Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

.(1.5)

и

.(1.6)

Решение. Прямая (1.5) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1)=(3, 4), а прямая (1.6) − q2=(m2, p2)=(− 3, 1). Для определения угла между прямыми (1.5) и (1.6) подставим значения m1, p1, m2, p2 в (1.4):

.

Упростим и решим:

.

Найдем угол φ

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Ответ.

Угол между прямыми равен:

1.2. Условие параллельности прямых

Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

.(1.7)

Сделаем преобразования с выражением (1.7):

,
,
,
,
,
.(1.8)

Таким образом условие параллельности прямых L1 и L2 имеет вид (1.8). Если m2≠0 и p2≠0, то (1.8) можно записать так:

.(1.9)

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

.(1.10)

и

.(1.11)

Решение. Прямая (1.10) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1)=(3, 3), а прямая (1.11) − q2=(m2, p2)=(−2, −2). Тогда

, .

Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

1.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

.(1.12)

Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие

.(1.13)

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

(1.14)

и

.(1.15)

Решение. Прямая (1.14) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1)=(3, 1), а прямая (1.15) − q2=(m2, p2)=(−2, 6). Тогда

.(16)

Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Прямые заданы общими уравнениями

1.4. Определение угла между прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями

(1.17)

и

.(1.18)

Так как нормальным вектором прямой L1 является n1=(A1, B1), а нормальным вектором прямой L2 является n2=(A2, B2), то задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла φ между векторами n1 и n2 (Рис.2).

.

Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:

.(1.19)

где |n1| и |n2| модули нормальных векторов n1 и n2 соответственно, φ -угол между векторами n1 и n2.

Из уравнения (19) получим

.(1.20)

Пример 4. Найти угол между прямыми

5x1−2x2+3=0(1.21)

и

x1+3x2−1=0.(1.22)

Решение. Прямая (1.21) имеет нормальный вектор n1=(A1, B1)=(5, −2), а прямая (1.22) − n2=(A2, B2)=(1, 3). Задача определения угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла между векторами n1 и n2. Из определения скалярного произведения векторов имеем: (n1,n2)=|n1||n2|cosφ. Тогда

(23)

Подставляя значения A1, B1, A2, B2 в (1.23), получим:

Упростим и решим:

Найдем угол φ:

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

1.5. Условие параллельности прямых

Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:

.(1.24)

С другой стороны условие параллельности прямых L1 и L2 эквивалентно условию коллинеарности векторов n1 и n2 и можно представить так:

.(1.25)

Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A2≠0 и B2≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).

Пример 5. Определить, параллельны ли прямые

4x+2y+2=0(1.26)

и

2x+y−2=0.(1.27)

Решение. Прямая (1.26) имеет нормальный вектор n1=(A1, B1)=(4, 2), а прямая (1.27) − n2=(A2, B2)=(2, 1). Тогда подставляя значения A1, B1, A2, B2 в (1.24), получим

4·1≡2·2.

Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

1.6. Условие перпендикулярности прямых

Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n1,n2)=0. Откуда

A1A2+B1B2=0.(1.28)

Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).

Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые

4x−1y+2=0(1.29)

и

2x+8y−14=0.(1.30)

Решение. Прямая (1.29) имеет нормальный вектор n1=(A1, B1)=(4, −1), а прямая (1.30) − n2=(A2, B2)=(2, 8). Тогда подставляя значения A1, B1, A2, B2 в (28), получим

4·2-1·8≡0.

Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

2. Угол между прямыми в пространстве

2.1. Определение угла между прямыми

Пусть в пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями

,(2.1)

и

,(2.2)

где q1=(m1, p1, l1) направляющий вектор прямой L1, а q2=(m2, p2, l2) направляющий вектор прямой L2.

Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 .

Из определения скалярного произведения:

,(2.3)

где |q1| и |q2| модули направляющих векторов q1 и q2 соответственно, φ -угол между векторами q1 и q2.

Из выражения (2.3) получим:

.(2.4)

Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.

Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

.(2.5)

и

(2.6)

Решение. Прямая (2.5) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(1, 1, 3), а прямая (2.6) − q2=(m2, p2, l2)=(− 3, 1, 2). Для определения угла между прямыми (2.5) и (2.6) подставим значения m1, p1, l1, m2, p2, l2 в (2.4):

.
.

Упростим и решим:

.

Найдем угол φ

Ответ.

Угол между прямыми равен:

2.2. Условие параллельности прямых

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q1 и q2, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть

m1=αm2, p1=αp2, l1=αl2(2.7)

где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q1 и q2 пропорциональны, и, следовательно прямые L1 и L2 параллельны.

Условие параллельности прямых можно представить и так:

(2.8)

Отметим, что любую пропорцию нужно понимать как равенство ad=bc.

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

.(2.9)

и

.(2.10)

Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(3, 2, 4), а прямая (2.10) − q2=(m2, p2, l2)=(6, 4, 8). Тогда

, , .

Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.

Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.

Пример 3. Определить, параллельны ли прямые

.(2.11)

и

.(2.12)

Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(1, 2, 0), а прямая (2.10) − q2=(m2, p2, l2)=(2, 4, 0). Подставляя значения m1, p1, l1, m2, p2, l2 в (2.8), получим

.(2.13)

Выражение (2.13) нужно понимать так:

, , .(2.14)

Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

2.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:

.(2.15)

Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие

.(2.16)

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

(2.17)

и

.(2.18)

Решение. Прямая (2.16) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(3, 2, 1), а прямая (2.17) − q2=(m2, p2, l2)=(4, −6, 0). Тогда

.(2.19)

Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.