Точка пересечения прямой и плоскости онлайн

 

Точка пересечения прямой и плоскости − теория, примеры и решения

1. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в каноническом виде

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямая L₁:

,

(1)

и плоскость α:

α:  Ax+By+Cz+D=0.

(2)

где M₁(x₁, y₁, z₁) − точка, лежащая на прямой L₁, q₁={m₁, p₁, l₁} − направляющий вектор прямой L₁, а n={A,B,C} − нормальный вектор плоскости α.

Найти точку пересечения прямой L₁ и плоскости α (Рис.1).

Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Решим систему линейных уравнений (2), (5), (6) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого в уравнении (2) переведем свободный член в правую часть уравнения и запишем эту систему в матричном виде:

Как решить систему линейных уравнений (11)(или (2), (5), (6)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или на примерах ниже. Если система линейных уравнениий (7) несовместна, то прямая L₁ и плоскость α не пересекаются. Если система (7) имеет множество решений, то прямая L₁ лежит на плоскости α. Единственное решение системы линейных уравнений (7) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямой L₁ и плоскости α.

Замечание. Если прямая задана параметрическим уравнением, то уранение прямой нужно приводить к каноническому виду и применить метод, описанный выше, или же

2. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в параметрическом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L₁ в параметрическом виде:

и плоскость α:

α:  Ax+By+Cz+D=0.

(9)

где M₁(x₁, y₁, z₁) − точка, лежащая на прямой L₁, q₁={m₁, p₁, l₁} − направляющий вектор прямой L₁, а n={A,B,C} − нормальный вектор плоскости α.

Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L₁ и плоскости α можно решить разными методами.

Метод 1. Приведем уравнения прямой L₁ к каноническому виду.

Для приведения уравнения (8) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:

Так как левые части уравнений (10) равны, то можем записать:

Далее, для нахождения точки пересечения прямой и плоскости нужно воспользоваться параграфом 1.

Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плоскости α решим совместно уравнения (8) и (9). Из уравнений (8) подставим x, y, z в (9):

Откроем скобки и найдем t:

Если числитель и знаменатель в уравнении (14) одновременно равны нулю, то это значит, что прямая L₁ лежит на полскости α. Если в уравнении (14) числитель отличен от нуля, а знаменатель равен нулю, то прямая и плоскость параллельны.

Если же числитель и знаменатель в уравнении (14) отличны от нуля, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке. Для нахождения координат точки пересечения прямой L₁ и плоскости α подставим полученное значение t из (14) в (8).

3. Примеры нахождения точки пересечения прямой и плоскости.

Пример 1. Найти точку пересечения прямой L₁:

и плоскости α:

Представим уравнение (15) в виде двух уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (17) и (18):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Упростим:

Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плосклсти α нужно решить совместно уравнения (2), (19) и (20). Для этого переведем в уравнении (2) свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (19) и (20):

Решим систему линейных уравнений (21) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a_{1 1}. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −7/3:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 4/3:

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a₃₃. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −3/2:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 1/2:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Запишем решение:

Ответ. Точка пересечения прямой L₁ и плоскости α имеет следующие координаты:

Пример 2. Найти точку пересечения прямой L₁:

и плоскости α:

Представим уравнение (22) в виде двух уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (24) и (25):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Упростим:

Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плосклсти α нужно решить совместно уравнения (2), (26) и (27). Переведем в уравнении (2) свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (26) и (27):

Решим систему линейных уравнений (21) отностительно x, y, z. Для этого построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 6/5:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на −1/5:

Из расширенной матрицы восстановим систему линейных уравнений:

Легко можно заметить, что последнее уравнение в (29) несовместна, так как несуществуют такие x, y, z чтобы выполнялось это равенство. Следовательно система линейных уравнений (2), (26) и (27) несовместна. Тогда прямая L₁ и плоскость α не пересекаются, т.е. они параллельны.

Ответ. Прямая L₁ и плоскость α параллельны, т.е. не имеют общую точку.

Пример 3. Найти точку пересечения прямой в параметрическом виде L₁:

и плоскости α:

Решение. Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плоскости α нужно найти такое значение t, при котором точка M(x, y, z) удовлетворяет уравнению (31). Поэтому подставим значения x, y, z из (30) в (31):

Откроем скобки:

Упростив уравнение, получим:

Как видим, любое значение t удовлетворяет уравнению (33), т.е. любая точка на прямой L₁ удовлетворяет уравнению плоскости α. Следовательно прямая L₁ лежит на плоскости α.

Ответ. Прямая L₁ лежит на плоскости α.