С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямых в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямых задайте вид уравнения прямых ("канонический" или "параметрический" ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Предупреждение
Очистить все ячейки?
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Точка пересечения прямых в пространстве − теория, примеры и решения
1. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в каноническом виде.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:
,
(1)
,
(2)
где M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) − точки, лежащие на прямых L1 и L2, соответственно, а q1={m1, p1, l1} и q2={m2, p2, l2} − направляющие векторы прямых L1 и L2, соответственно.
Найти точку пересечения прямых L1 и L2 (Рис.1).
Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:
,
(3)
(4)
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):
p1(x−x1)=m1(y−y1)
l1(y−y1)=p1(z−z1)
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
p1x−m1y=p1x1−m1y1,
(5)
l1y−p1z=l1y1−p1z1.
(6)
Аналогичным образом преобразуем уравнение (2):
Запишем уравнение (2) в виде системы двух линейных уравнений:
,
(7)
(8)
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8):
p2(x−x2)=m2(y−y2)
l2(y−y2)=p2(z−z2)
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
p2x−m2y=p2x2−m2y2,
(9)
l2y−p2z=l2y2−p2z2.
(10)
Решим систему линейных уравнений (5), (6), (9), (10) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в матричном виде:
(11)
Как решить систему линейных уравнений (11)(или (5), (6), (9), (10)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн. Если система линейных уравнениий (11) несовместна, то прямые L1 и L2 не пересекаются. Если система (11) имеет множество решений, то прямые L1 и L2 совпадают. Единственное решение системы линейных уравнений (11) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямых L1 и L2 .
2. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в параметрическом виде.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2 в параметрическом виде:
(12)
(13)
где M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) − точки, лежащие на прямых L1 и L2, соответственно, а q1={m1, p1, l1} и q2={m2, p2, l2} − направляющие векторы прямых L1 и L2, соответственно.
Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 можно решить разными методами.
Метод 1. Приведем уравнения прямых L1 и L2 к каноническому виду.
Для приведения уравнения (12) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:
(14)
Так как левые части уравнений (14) равны, то можем записать:
(15)
Аналогичным образом приведем уравнение прямой L2 к каноническому виду:
(16)
Далее, для нахождения точки пересечения прямых, заданных в каноническом виде нужно воспользоваться параграфом 1.
Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 решим совместно уравнения (12) и (13). Из уравнений (12) и (13) следует:
(17)
(18)
(19)
Из каждого уравнения (17),(18),(19) находим переменную t. Далее из полученных значений t выбираем те, которые удовлетворяют всем уравнениям (17)−(19). Если такое значение t не существует, то прямые не пересекаются. Если таких значений больше одного, то прямые совпадают. Если же такое значение t единственно, то подставляя это зачение t в (12) или в (13), получим координаты точки пересечения прямых (12) и (13).
3. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в разных видах.
Если уравнения прямых заданы в разных видах, то можно их привести к одному виду (к каноническому или к параметрическому) и найти точку пересечения прямых, описанных выше.
4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.
Пример 1. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:
(20)
(21)
Представим уравнение (20) в виде двух уравнений:
(22)
(23)
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (22) и (23):
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
Упростим:
1x−3y=−5,
(24)
4y−1z=7.
(25)
Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).
Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:
(26)
(27)
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8)
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
Упростим:
1x−3y=−5,
(28)
1y−1z=−2.
(29)
Решим систему линейных уравнений (24), (25), (28), (29) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:
(30)
Решим систему линейных уравнений (30) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1:
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 4 со строкой 2, умноженной на −1/4:
Сделаем перестановку строк 3 и 4.
Второй этап. Обратный ход Гаусса.
Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a33. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −4/3:
Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a22. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 3/4:
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
Запишем решение:
Ответ. Точка пересечения прямых L1 и L2 имеет следующие координаты:
M (4, 3, 5).
Пример 2. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:
(31)
(32)
Приведем параметрическое уравнение прямой L1 к каноническому виду. Выразим параметр t через остальные переменные:
Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:
(33)
Представим уравнение (33) в виде двух уравнений:
(34)
(35)
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (34 и (35):
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
Упростим:
(36)
.
(37)
Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).
Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:
(38)
(39)
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (38) и (39)
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
Упростим:
1x−3y=−5,
(40)
1y−1z=−2.
(41)
Решим систему линейных уравнений (36), (37), (40), (41) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:
(42)
Решим систему линейных уравнений (42) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1/6:
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строки 3 и 4 со строкой 2, умноженной на 8/21 и −1/7, соответственно:
Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже элементаa33. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -1/16:
Из расширенной матрицы восстановим последнюю систему линейных уравнений:
(43)
Уравнение (43) несовместна, так как несуществуют числа x, y, z удовлетворяющие уравнению (43). Следовательно система линейных уравнений (42) не имеет решения. Тогда прямые L1 и L2 не пересекаются. То есть они или параллельны, или скрещиваются.
Прямая L1 имеет направляющий вектор q1={2,6,7}, а прямая L2 имеет направляющий вектор q2={3,1,1}. Эти векторы не коллинеарны. Следовательно прямые L1 и L2 скрещиваются .
,
,
,
,
.
