В данной статье мы рассмотрим общее уравнение плоскости в пространстве. Определим понятия полного и неполного уравнения плоскости. Для построения общего уравнения плоскости пользуйтесь калькулятором уравнение плоскости онлайн.
Пусть задана произвольная декартова прямоугольная система координат Oxyz. Общим уравнением плоскости называется линейное уравнение вида:
| Ax+By+Cz+D=0, | (1) |
где A, B, C, D − некоторые постоянные, причем хотя бы один из элементов A , B и C отлично от нуля.
Мы покажем, что линейное уравнение (1) в пространстве определяет плоскость и любой плоскость в пространстве можно представить линейным уравнением (1). Докажем следующую теорему.
Теорема 1. В произвольной декартовой прямоугольной системе координат в пространстве каждая плоскость α может быть задана линейным уравнением (1). Обратно, каждое линейное уравнение (1) в произвольной декартовой прямоугольной системе координат в пространстве определяет плоскость.
Доказательство. Достаточно доказать, что плоскость α определяется линейным уравнением при какой нибудь одной декартовой прямоугольной системе координат, поскольку тогда она будет определяться линейным уравнением и при любом выборе декартовой прямоугольной системы координат.
Пусть в пространстве задана плоскость α. Выберем оси Ox и Oy так, чтобы они располагались на плоскости α, а ось Oz направим перпендикулярно к этой плоскости. Тогда линейное уравнение z=0 будет уравнением плоскости, т.к. координаты любой точки, принадлежащей этой плоскости удовлетворяют уравнению z=0, а координаты любой точки, не лежащей на этой плоскости − нет. Первая часть теоремы доказана.
Пусть фиксирована произвольная декартова прямоугольная система координат Oxyz. Рассмотрим линейное уравнение (1), где хотя бы один из элементов A , B и C отлично от нуля. Тогда уравнение (1) имеет хотя бы одно решение x0, y0, z0. Действительно. Пусть из коэффициентов A≠0. Возьмем произвольные числа y0, z0. Тогда
 . |
Таким образом, существует точка M0(x0, y0, z0), координаты которой удовлетворяют уравнению (1):
| Ax0+By0+Cz0+D=0. | (2) |
Вычитая из уравнения (1) тождество (2), получим
| A(x−x0)+B(y−y0)+С(z−z0)=0, | (3) |
которая эквивалентна уравнению (1).
 |
Покажем, что (3) определяет некоторую плоскость, проходящую через точку M0(x0, y0, z0) и перпендикулярную вектору n={A,B,C} (n≠0, так как хотя бы один из чисел A,B,C отлично от нуля).
Если точка M0(x0, y0, z0) принадлежит плоскости α, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3), т.к. векторы n={A,B,C} и 
перпендикулярны (Рис.1) и их скалярное произведение равно нулю:
  . |
Если же точка M(x, y, z) не лежит на плоскости α, то векторы n={A,B,C} и не ортогональны. Тогда их скалярное произведение не равно нулю, т.е. координаты точки M(x, y, z) не удовлетворяют условию (3). Теорема доказана.
Одновременно с доказательством теоремы 1 мы получили следующее утверждение.
Утверждение 1. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (A,B,C) перпендикулярен плоскости Ax+By+Cz+D=0.
Вектор n=(A,B,C) называется нормальным вектором плоскости, определяемой линейным уравнением (1).
Утверждение 2. Если два общих уравнения плоскости
| A1x+B1y+C1z+D=0 | (4) |
и
| A2x+B2y+C2z+D=0 | (5) |
определяют одну и ту же плоскость, то найдется такое число λ, что выпонены равенства
| A2=A1λ, B2=B1λ, C2=C1λ, D2=D1λ. | (6) |
Доказательство. Так как уравнения (4) и (5) определяют одну и ту же плоскость, то нормальные векторы n1={A1,B1,С1} и n2={A2,B2, С2} коллинеарны. Так как векторы n1≠0, n2≠0, то существует такое число λ, что n2=n1λ. Отсюда имеем: A2=A1λ, B2=B1λ, С2=С1λ. Докажем, что D2=D1λ. Очевидно, что совпадающие плоскости имеют общую точку M0(x0, y0, z0), так что
| A1x0+B1y0+C1z0+D=0 | (7) |
и
| A2x0+B2y0+C2z0+D=0 | (8) |
Умножая уравнение (7) на λ и вычитая из него уравнение (8) получим:
| (A1λ−A2)x0+(B1λ−B2)y0+(C1λ−C2)z0+(D1λ−D2)=0. |
Так как выполнены первые три равенства из выражений (6), то D1λ−D2=0. Т.е. D2=D1λ. Утверждение доказано.
Определение 1. Общее уравнение плоскости (1) называется полным, если все коэффициенты A, B, C, D отличны от нуля. Если же хотя бы один из коэффициентов A, B, C, D равен нулю, то общее уравнение плоскости называется неполным.
Рассмотрим все возможные варианты неполных уравнений плоскости:
При D=0, имеем уравнение плоскости Ax+By+Cz=0, проходящей через начало координат (Рис.2). Действительно, точка O(0,0,0) удовлетворяет этой системы линейных уравнений.
При A=0, имеем уравнение плоскости By+Cz+D=0, которая параллельна оси Ox (Рис.3). В этом случае нормальный вектор плоскости n={0,B,C} лежит на координатной плоскости Oyz.
  |
При B=0, имеем уравнение плоскости Ax+Cz+D=0, которая параллельна оси Oy (Рис.4).
При C=0, имеем уравнение плоскости Ax+By+D=0, которая параллельна оси Oz (Рис.5).
  |
При A=0,B=0 имеем уравнение плоскости Cz+D=0, которая параллельна координатной плоскости Oxy (Рис.6).
При B=0,C=0 имеем уравнение плоскости Ax+D=0, которая параллельна координатной плоскости Oyz (Рис.7).
  |
При A=0,C=0 имеем уравнение плоскости By+D=0, которая параллельна координатной плоскости Oxz (Рис.8).
При A=0,B=0,D=0 имеем уравнение плоскости Cz=0, которая совпадает с координатной плоскостью Oxy (Рис.9).
  |
При B=0,C=0,D=0 имеем уравнение плоскости Ax=0, которая совпадает с координатной плоскостью Oyz (Рис.10).
При A=0,C=0,D=0 имеем уравнение плоскости By=0, которая совпадает с координатной плоскостью Oxz (Рис.11).
  |
Рассмотрим примеры построения общего уравнения плоскости.
Пример 1. Построить общее уравнение плоскости, проходящей через точку M(4,−1,2) параллельной координатной плоскости Oxy.
Решение. Общее уравнение плоскости, проходящей через некоторую точку M(x0,y0,z0) имеет вид (3). Подставляя координаты точки M в (3), получим:
| A(x−4)+B(y−(−1))+C(z−2)=0 | (9) |
Так как плоскость параллельна координатной плоскости Oxy, то направляющий вектор имеет следующий вид n={A,B,C}={0,0,1}, т.е. A=0, B=0, C=1.
Подставляя коэффициенты A,B,C в (9), получим:
| 0(x−4)+0(y−(−1))+1(z−2)=0 | (9) |
или
| z−2=0 |
Ответ:
| z−2=0 |
Пример 2. Построить общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат и имеющий нормальный вектор n=={2,3,1}.
Решение. Начало координат имеет коэффициенты (0,0,0). Общее уравнение плоскости, проходящей через некоторую точку M(x0,y0,z0) имеет вид (3). Подставляя коэффициенты начальной точки в (3), получим:
| A(x−0)+B(y−0)+C(z−0)=0 | (10) |
Так как плоскость имеет нормальный вектор n={A,B,C}={2,3,1}, т.е. A=2, B=3, C=1, подставляя коэффициенты A,B,C в (10), получим:
| 2(x−0)+3(y−0)+1(z−0)=0 | (9) |
или
| 2x+3y+z=0. |
Ответ:
| 2x+3y+z=0. |
Онлайн калькулятор для построения общего уравнения плоскости находится здесь. Там же вы найдете примеры построения общего уравнения плоскости, если известны три точки этой плоскости или если известна одна точка и нормальный вектор этой плоскости.