Метод Гаусса онлайн

Решение систем уравнений онлайн

Метод Гаусса

Метод Гаусса − это метод перехода от исходной системы линейных уравнений (при помощи эквивалентных преобразований) к системе, которая решается проще, чем исходная система.

Эквивалентными преобразованиями системы линейных уравнений являются:

• перемена местами двух уравнений в системе,
• умножение какого-либо уравнения в системе на ненулевое действительное число,
• прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

(1)

Запишем систему (1) в матричном виде:

Ax=b

(2)

где

(3)

A-называется матрица коэффициентов системы, b − правая часть ограничений, x− вектор переменных, которую нужно найти. Пусть rang(A)=p.

Эквивалентные преобразования не меняют ранг матрицы коэффициентов и ранг расширеннной матрицы системы. Не меняется также множество решений системы при эквивалентных преобразованиях. Суть метода Гаусса заключается в приведении матрцы коэффициентов A к диагональному или ступенчатому.

Построим расшренную матрицу системы:

(4)

Предположим a₁₁≠0. Если это не так, то можно поменять местами эту строку со строкой с ненулевым элементом в столбце 1 (если нет таких строк, то переходим к следующему столбцу). Обнуляем все элементы столбца 1 ниже ведущего элемента a₁₁. Для этого сложим строки 2,3, ... m со строкой 1, умноженной на −a₂₁/a₁₁, −a₃₁/a₁₁, ..., −a_m1/a₁₁, соответственно. Тогда (4) примет следующий вид:

(5)

На следующем этапе обнуляем все элементы столбца 2, ниже элемента . Если данный элемент нулевой, то эту строку меняем местами со строкой, лежащий ниже данной строки и имеющий ненулевой элемент во втором столбце. Далее обнуляем все элементы столбца 2 ниже ведущего элемента a₂₂. Для этого сложим строки 3, ... m со строкой 2, умноженной на −a₃₂/a₂₂, ..., −a_m2/a₂₂, соответственно. Продолжая процедуру, получим матрицу диагонального или ступенчатого вида. Пусть полученная расширенная матрица имеет вид:

(6)

Обратим внимание на последние строки. Если ,..., равны нулю, то система линейных уравнений имеет решение, если же хотя бы один из этих чисел отлично от нуля, то система несовместна. Иными словами, система (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A навен рангу расширенной матрицы (A|b).

Пусть . Тогда

(7)

Так как rangA=rang(A|b), то множество решений (7) есть (n−p)− многообразие. Следовательно n−p неизвестных можно выбрать произвольно. Остальные неизвестные из системы (7) вычисляются так. Из последнего уравнения выражаем x_p через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения. Далее из предпоследнего уравнения выражаем x_p−1 через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения и т.д. Рассмотрим метод Гаусса на конкретных примерах.

Примеры решения системы линейных уравнений методом Гаусса

Пример 1. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

Матричный вид записи: Ax=b, где

Для решения системы, запишем расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a_{1 1}. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -2/3,-1/2 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2 2. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 9/8:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Из вышеизложенной таблицы можно записать:

Подставив верхние выражения в нижние, получим решение.

Решение:

,,.

 

Пример 2. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

Матричный вид записи: Ax=b, где

Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/5,-6/5 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -1:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Выразим переменные x₁, x₂ относительно остальных переменных.

где x₃, x₄− произвольные действительные числа.

Подставив верхние выражения в нижние, получим решение.

Решение:

где x₃, x₄− произвольные действительные числа.

Векторный вариант решения:

Запишем вышеизложенное решение, представив свободные переменные в виде тождеств:

Тогда векторное решение можно представить так:

где x₃, x₄− произвольные действительные числа.