С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через три точки, и уравнение плоскости, проходящей через одну точку и имеющий заданный нормаль плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости выберите вариант задания исходных данных, введите координаты точек в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Рассмотрим цель − вывести уравнение плоскости, проходящей через три различные точки M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3), не лежащие на одной прямой. Так как эти точки не лежат на одной прямой, векторы 
и 
не коллинеарны. Следовательно точка M(x, y, z) лежит в одной плоскости с точками M1, M2, M3 тогда и тольно тогда, когда векторы M1M2, M1M3 и 
компланарны. Но векторы M1M2, M1M3, M1M компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Используя смешанное произведение векторов M1M2, M1M3, M1M в координатах, получим необходимое и достаточное условие принадлежности точки M(x, y, z) к указанной плоскости:
 |
Разложив определитель в левой части выражения, например, по первому столбцу и упростив, получим уравнение плоскости в общей форме, проходящий по точкам M1, M2, M3:
| Ax+By+Cz+D=0. |
Пример 1. Построить уравнение плоскости, проходящую через точки A(1, 2, 1), B(4, 5, -4), С(2, 1, 2).
Решение.
Уравнение плоскости, проходящей через точки A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3) имеет следующий вид:
|
(1) |
Подставляя координаты точек A, B, C в (1), получим:
 |
Упростим:
 |
Разложим определитель по первому столбцу:
   |
Упростим выражение:
  |
или
 |
Ответ:
Уравнение плоскости, проходящей через точки A(1, 2, 1), B(4, 5, -4), С(2, 1, 2) имеет вид:
|
Пример 2. Построить плоскость, проходящую через точку M0(-1, 2, 1) и имеюший нормаль n(1, 4/5, 1).
Решение.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющей нормаль n(A, B, C) имеет следующий вид:
 |
(2) |
Подставляя координаты векторов M0 и n в (2), получим:
 |
или
 |