С помощю этого онлайн калькулятора можно получить формулы тригонометрических функций, в том числе формулы универсальных тригонометрических подстановок . Для получения формулы выберите нужную тригонометрическую функцию, дейсвие. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Суть понятия универсальной тригонометрической подстановки − это выражение синуса косинуса тангенса и котангенса любого угла через тангенс половинного угла. Эти формулы удобны в использовании так как не содержат корней в выражениях и облегчают дальнейшие вычисления.
Универальную тригонометрическую подстановку применяют для решения тригонометрических уравнений и при упрощении тригонометрических выражений. Представим эти формулы:
Формулы (a) и (b) имеют место для любых значениях α, при которых знаменатели (a) и (b) отличны от нуля и при которых определен . Найдем эти значения для α.
Так как неотрицательное число, то знаменатели дробей (a) и (b) отличны от нуля. определен при любых значениях , при которых ,где Z − множество всех целых чисел (подробнее смотрите на странице Тангенс и котангенс. Онлайн калькулятор). Отсюда получим, что формулы (a) и (b) имеют место при:
(1)
Формула (c) должна удовлетворять кроме условия (1) также и условию:
,
откуда получим:
.
(2)
Из выражения (2) найдем значения :
.
(3)
Формулы (3) можно объединить в одной формуле:
.
Откуда получим:
.
(4)
Условие (4) совпадает с областью определения функции тангенс. Таким образом формула (c) имеет место при условиях (1) и (4).
Формула (d) имеет место при трех условиях: определены , и . За первое условие отвечает условие (1).
Котангенс определен при условии:
.
(5)
Из третьего условия имеем:
.
или
.
(6)
Таким образом формула (d) имеет место при условиях (1), (5) и (6). Так как условие (5) включает в себя условия (1) и (6), то формула (d) справедлива при условии:
.
Вывод формул
Для вывода формул универсальной тригонометрической подстановки воспользуемся формулами двойного угла:
,
(7)
.
(8)
Подставим в (7) и (8) . Тогда формулы двойного угла примут вид:
.
(9)
.
(10)
Далее, используя основное тригонометрическое тождество (), получим:
.
(11)
.
(12)
Делим числитель и знаменатель уравнений (11) и (12) на :
.
.
Получили:
.
(13)
.
(14)
Из формул (13) и (14) легко можно вывести формулы для тангенса и котангенса:
.
.
Получили:
.
.
Пример применения
Пример. Привести выражение к выражению с функцей тангенс.
. Найдем эти значения для α.
, при которых 
,где Z − множество всех целых чисел (подробнее смотрите на странице Тангенс и котангенс. Онлайн калькулятор). Отсюда получим, что формулы (a) и (b) имеют место при:
,
.
:
.
.
.
, 
и 
. За первое условие отвечает условие (1).
.
.
.
,
.
. Тогда формулы двойного угла примут вид:
.
.
), получим:
.
.
:
.
.
.
.
к выражению с функцей тангенс.
.