Формулы половинного угла (аргумента) онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно получить формулы половинного угла (и другие формулы) тригонометрических функций. Для получения формулы выберите нужную тригонометрическую функцию, выберите нужный аргумент, нажав на аргумент в формуле. В результате получится формула для этой функции и аргумента. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Формулы половинного угла (аргумента) − теория, доказательство, примеры

Формулы половинного угла выражают тригонометрические функции синус, косинус, тангенс и котангенс угла через тригонометрические функции угла . Выведем формулы половинного угла для функций синус, косинус, тангенс, котангенс. Воспользуемся следующими формулами двойного угла (подробнее смотрите на странице Формулы двойного и тройного угла (аргумента) онлайн):

(1)

(2)

Подставим в (1) и (2) . Тогда имеем

(3)

(4)

Из равенств (3) и (4) найдем соответвсвенно и :

(5)

(6)

Следовательно:

(7)

(8)

Равенства (5) и (6) (или (7) и (8)) являются формулами половинного угла для функций синус и косинус. Для выведения формул для тангенса и котангенса запишем основные тригонометрические тождества для этих функций:

Тогда

(9)

(10)

Откуда:

(11)

(12)

Отметим, что в знак формулах (7), (8), (11) и (12) совпадает со знаком тригонометрической функции для угла .

Выражения (11) и (12) являются формулами половинного угла для функций тангенс и котангенс. Отметим, что определен тогда, когда (т.е. , где Z -множество целых чисел). определен тогда, когда (т.е. ).