Сумма и разность тригонометрических функций

Сумма и разность тригонометрических функций − теория, доказательство, примеры

Докажем, сначала, формулы суммы и разности функций синуса и косинуса. Для этого воспользуемся формулами суммы и разности углов тригонометрических функций :

Представим углы и в следующем виде:

Доказательство первой формулы:

Применяя формулы (1) и (2), получим:

или

Аналогично докажем остальные формулы.

Доказательство второй формулы:

или

Доказательство третьей формулы:

или

Доказательство четвертой формулы:

или

Доказательство пятой формулы:

Воспользуемся формулой приведения тригонометрических функций (т.е. ):

Далее применим уже доказанную формулу (7):

Получили:

Доказательство шестой формулы:

или

Доказательство седьмой формулы:

Седьмая формула является частным случаем пятой формулы. Подставляя β=α, получим

или

Доказательство восьмой формулы:

Восьмая формула является частным случаем шестой формулы. Подставляя β=α, получим

или

Докажем, далее формулы суммы и разности функций тангенса и котангенса.

или

Отметим, что формулы суммы и разности тригонометрических функций применяются для преобразования тригонометрических выражений и при решении тригонометрический уравнений.

Примеры применения формул суммы и разности тригонометрических функций

Пример. Вычислить точное значение следующего выражения:.

Решение. Так как невозможно найти точное решение ни для , ни для попробуем использовать формулу (7).

Ответ: