Сумма и разность тригонометрических функций

С помощю этого онлайн калькулятора можно получить формулы суммы и разности тригонометрических функций (а также другие тригонометрические формулы). Для получения формулы выберите нужную тригонометрическую функцию, дейсвие. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Сумма и разность тригонометрических функций − теория, доказательство, примеры

Сумма и разность тригонометрических функций (формулы)

Докажем, сначала, формулы суммы и разности функций синуса и косинуса. Для этого воспользуемся формулами суммы и разности углов тригонометрических функций :

(1)
(2)
(3)
(4)

Представим углы и в следующем виде:

(5)
(6)

Доказательство первой формулы:

Применяя формулы (1) и (2), получим:

или

(7)

Аналогично докажем остальные формулы.

Доказательство второй формулы:

или

(8)

Доказательство третьей формулы:

или

(9)

Доказательство четвертой формулы:

или

(10)

Доказательство пятой формулы:

Воспользуемся формулой приведения тригонометрических функций (т.е. ):

Далее применим уже доказанную формулу (7):

Получили:

(11)

Доказательство шестой формулы:

или

(12)

Доказательство седьмой формулы:

Седьмая формула является частным случаем пятой формулы. Подставляя β=α, получим

или

(13)

Доказательство восьмой формулы:

Восьмая формула является частным случаем шестой формулы. Подставляя β=α, получим

или

(14)

Докажем, далее формулы суммы и разности функций тангенса и котангенса.

или

(15)
(16)
(17)
(18)

Отметим, что формулы суммы и разности тригонометрических функций применяются для преобразования тригонометрических выражений и при решении тригонометрический уравнений.

Примеры применения формул суммы и разности тригонометрических функций

Пример. Вычислить точное значение следующего выражения:.

Решение. Так как невозможно найти точное решение ни для , ни для попробуем использовать формулу (7).

Ответ: