С помощю этого онлайн калькулятора можно получить формулы суммы и разности углов тригонометрических функций. Для получения формулы выберите нужную тригонометрическую функцию, нажав на "sin", выберите нужный аргумент, нажав на аргумент в формуле. В результате получится формула для этой функции и аргумента. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Выведем формулы суммы и разности углов тригонометрических функций. Начнем с формулы
 |
(1) |
Как мы знаем, угол между векторами не может быть больше 180° (π). На рисунке Рис.1 угол между векторами 
и 
равен 
. На рисунке Рис.2 угол между векторами и равен 
.
  |
Рассмотрим, теперь косинусы этих углов. Из формул приведения мы знаем (подпрбнее о формулах приведения смотрите на странице Формулы приведения тригонометрических функций онлайн):
 |
Cкалярное произведение векторов и равно:
  |
(2) |
Так как точка имеет координаты 
, а имеет координаты 
(смотрите статью на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор), то скалярное произведения векторов и по координатам равно:
  |
(3) |
Поскольку левые части формул (2) и (3) равны, то равны и правые части этих формул. Следовательно выполнено равенство (1).
Докажем, далее, справедливость следующей формулы
  |
(4) |
Представим косинус суммы углов α и β в виде косинуса разности двух углов и воспользуемся формулой (1) и тем, что косинус четная функция а синус нечетная функция:
   |
Перейдем к доказательству формул синусов суммы и разности углов:
  |
(5) |
  |
(6) |
Для доказательства формулы (5) воспользуемся формулами приведения тригонометрических функций и формулой (1):
     . |
Для доказательства формулы (6), представим разность углов в виде суммы и воспользуемся тем, что косинус четная функция а синус нечетная функция:
   . |
Формулы тангенса суммы и разности углов имееют следующий вид:
 |
(7) |
 |
(8) |
Докажем формулу (7):
  |
(9) |
Разделим числитель и знаменатель дроби в правой части уравнения (9) на 
(
, 
):
   |
Для доказательства формулы (9) представим разность углов в виде суммы, воспользуемся формулой (8) и учтем, что тангенс нечетная функция:
  |
Формулы котангенса суммы и разности углов имееют следующий вид:
 |
(10) |
 |
(11) |
Докажем формулу (10):
  |
(12) |
Разделим числитель и знаменатель дроби в правой части уравнения (12) на 
(
, 
):
   |
Для доказательства формулы (11), представим разность углов α и β в виде суммы и учтем, что котангенс нечетная функция:
   |
(13) |
Умножив числитель и знаменатель в правой части уравнения (13) на −1, получим формулу (11).
Пример 1. Найти точное значение 
.
Решение:
   |
Ответ:
 |
Пример 2. Найти косинус для угла 15°.
Решение:
   |
Ответ:
 |
Пример 3. Найти точное значение тангенса для угла 15° .
Решение:
  . |
(14) |
Тангенсы для углов 45° и 15° известны. Подставим эти значения в (14):
  . |
(15) |
Дробь в правой части уравнения (15) можно упростить, умножив числитель и знаменатель дроби на 
:
    . |
Ответ:
 . |