Формулы понижения степени в тригонометрии

Формулы понижения степени в тригонометрии − доказательство формул, примеры

Формулы понижения степени тригонометрических функций выражают тригонометрические функции в степени через тригонометрические формулы первой степени, но с n -кратным углом. Эти формулы позволяют упростить тригонометрические выражения.

Ниже представлены формулы понижения степени тригонометрических функций второго, третьего, четвертого порядков:

Вывод формул понижения степени в тригонометрии

Для доказательств формул (a) − (d) воспользуемся формулами двойного угла:

Разрешив (1) и (2) относительно и , соответственно, получим формулы (a) и (b):

Учитывая, что и , получим доказательство формул (c) и (d):

Для доказательства формул (e) − (h) воспользуемся формулами тройного угла:

Разрешив (3) и (4) относительно и , соответственно, получим:

Для тангенса и котангенса получим:

Для вывода формул понижения четвертой степени (i), (j) учтем, что:

Тогда:

или

Далее, учитывая, что и , получим формулы (k)−(l):

или

Общие формулы понижения степени тригонометрических функций синус и косинус имеют следующий вид:

Для четных n(n=2, 4, 6, 8, ...)

Для нечетных n(n=3, 5, 7, 9, ...)

где сочетание из p по q (!- знак факториала).

Примеры применения формул понижения степени

Пример 1. Проверить справедливость формулы (i):

при .

Решение. Подставим значение α в левую часть уравнения (5):

Далее, подставим значение α в правую часть уравнения (5):

Получили одинаковые результаты. Значит уравнение (5) справедливо для .

Пример 2. Проверить справедливость формулы (l):

при .

Решение. Подставим значение α в левую часть уравнения (6):

Далее, подставим значение α в правую часть уравнения (6):

Получили одинаковые результаты. Значит уравнение (6) справедливо для .