Система линейных уравнений. Общее решение

Система линейных уравнений (СЛУ) может быть записана в виде

(1)

где m, n натуральные числа, a_ij (i=1,2, ...m, j=1,2,...n) называются коэффициентами, b_i (i=1,2,...m) называются свободными членами, x_i (i=1,2,...n) называются неизвестными.

Систему линейных уравнений (1) можно записать в виде

Ax=b ,

(2)

где A матрица порядка m×n , x - вектор порядка n (x∈Rⁿ), b - вектор порядка m (b∈R^m).

Решением системы (2) называется выбор такого вектора x', что выполнено равенство

Ax'≡b.

Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то СЛУ называется совместным.

Если СЛУ не имеет решения, то СЛУ называется несовместным.

Если СЛУ имеет единственное решение, то СЛУ называется определенным.

Если СЛУ имеет более одного решения, то СЛУ называется неопределенным.

 Система линейных уравнений (2) называется неоднородной cистемой линейных уравнений, если b≠0.

Система линейных уравнений (2) называется однородной cистемой линейных уравнений, если b=0.

Нахождение общего решения системы линейных уравнений

Общее решение системы линейных уравнений (1)((или (2))− это множество всех решений этой системы.

Пусть A m×n - матрица rankA=r. В общем случае можем предположить что r<n, r<m. Тогда r столбцов матрицы A линейно независимы. Для удобства записи предположим, что это первые r столбцы матрицы A. Запишем систему (2) в блочном виде:

(3)

где M - r×r - матрица, Q -m-r×r - матрица, F - n-r×r - матрица, P - m-r×n-r - матрица, .

Применяя метод исключения Гаусса для системы (3), получим:

(4)

где M₁ верхняя треугольная матрица, 0 - нулевые матрицы соответствующих порядков. Далее, применяя обратный ход исключения Гаусса, и, далее, разделив элементы каждой строки на ведущий элемент этой строки (если ведущий элемент существует) получим:

(5)

где E - единичная матрица порядка r×r.

Запишем (5) в виде системы линейных уравнений:

(6)

где

Решим систему линейных уравнений (6). Для этого перезапишем в следующем виде:

(7)

Из второго уравнения системы (7) следует, что для совместности системы (6) и, следовательно, (2) (или (1)) должно выполняться условие b₂''≡ 0. Если система совместна, то решаем первое уравнение системы (7) относительно вектора x_r:

(8)

Таким образом первые r координаты вектора x выражены через остальные координаты . - свободные координаты, т.е. могут принимать любые значения.

Найдем, далее, множество всех векторов x, удовлетворяющих уравнению (6) и, следовательно, (2)( или (1)).

Рассмотрим множество всех векторов х, удовлетворяющих условию

(9)

где λ - произвольный вектор-столбец длины n-r.

Подставляя (9) в (6) получим:

Следовательно (9) является решением системы (6) и, следовательно, (2)(или (1)). Отметим что вектор является частным решением неоднородной системы линейных уравнений Ax=b, а является общим решением однородной системы линейных уравнений Ax=0;

Нахождение общего решения системы линейных уравнений с помощью псевдообратной матрицы

Обозначим через R(A) пространство столбцов матрицы A, т.е.

R(A)={z: z=Ax, ∀x∈Rⁿ}.

1. Пусть A n×n матрица и rank(A)=n. Тогда существует обратная к A матрица A^-1, и следовательно единственное решение СЛУ (2) примет вид:

Действительно, подставляя (3) в (2) имеем:

Ax'=AA⁻¹b=Eb=b,

где E − единичная матрица.

2. Пусть A m×n − матрица, rank(A)=r.

Вычислим следующий вектор:

где A⁺ - псевдообратная к A матрица.

Подставляя (11) в (2), имеем:

Из равенства (12) следует, что для того, чтобы система линейных уравнений (2) имела решение, должно выполняться условие

b∈R(A).

Если СЛУ совместна, т.е. если AA⁺b=b, то x'=A⁺b является решением СЛУ (2).

Общее решение системы линейных уравнений является суммой частного решения неоднородной системы линейных уравнений и множества всех решений соответствующей однородной системы линейных уравнений.

Общее решение системы линейных уравнений (2) имеет следующий вид:

x=x*+(E−A+A)z, ∀z∈Rn.

(13)

где x^* - один из решений неоднородной системы (2) (например (4)), (E−A⁺A) образует ядро (нуль пространство) матрицы A.

Сделаем скелетное разложение матрицы (E−A⁺A):

E−A⁺A=Q·S

где Q n×n−r - матрица rank(Q)=n−r, S n−r×n-матрица rank(S)=n−r.

Тогда (13) можно записать в следующем виде:

x=x*+Q·k,   ∀k∈R^n-r.

где k=Sz.

Итак, процедура нахождения общего решения системы линейных уравнений с помощью псевдообратной матрицы можно представить в следующем виде:

1. Вычисляем псевдообратную матрицу A⁺.
2. Вычисляем частное решение неоднородной системы линейных уравнений (2): x*=A⁺b.
3. Проверяем совместность системы. Для этого вычисляем AA⁺b. Если AA⁺b≠b, то система несовместна. В противном случае продолжаем процедуру.
4. Высисляем E−A⁺A.
5. Делаем скелетное разложение E−A⁺A=Q·S.
6. Строим решение

x=x*+Q·k,   ∀k∈R^n-r.

Решение системы линейных уравнений онлайн

Онлайн калькулятор позволяет найти обшее решение системы линейных уравнений с подробными объяснениями.