Геометрическая прогрессия онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сумму первых n членов геометрической прогрессии при разных начальных данных. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которого начиная со второго равен произведению предыдующего числа и некоторого постоянного q.

Из определения следует, что q≠0.

Пусть − геометрическая прогрессия. Тогда частное () при любом n равно одному и тому же числу q. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.

При q>0 все члены геометрической прогрессии имеют тот же знак, что и первый член, а при q<0 знаки геометрической прогресии чередуются.

Если первый член геометрической прогрессии a₁>0 и q>1, то (a_n) является возрастающей последовательностью, а при 0<q<1 геометрическая прогрессия является убывающей последовательностью.

Если первый член геометрической прогрессии a₁<0 и q>1, то геометрическая прогрессия является убывающей последовательностью, а при 0<q<1 − возрастающей.

При q=1 геометрическия прогрессия состоит из одинаковых членов, т.е. последовательность стационарна.

Запишем геометрическую прогрессию исходя из определения 1:

т.е. любой n-ый член прогрессии можно вычислить аналитически по формуле:

(1)

Запишем формулу (1) в другом виде:

(2)

Из формулы (2) следует, что геометрическая прогрессия представляет собой последовательность, которая задается формулой

(3)

где и u − некоторые отличные от нуля числа.

Рассмотрим обратное. Если последовательность задана формулой (3), где c и u некоторые отличные от нуля числа, то она является геометрической прогрессией.

Действительно. Пусть последовательность a_n задана формулой (3). Тогда n- ый и n+1-ый члены последовательности имеют следующий вид:

Следовательно

Значит последовательность (a_n) геометрическая прогрессия (определение 1).

Вышеизложенное можно сформулировать в виде утверждения:

Утверждение 1. Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда n- ый член последовательности задана формулой

где c и u некоторые отличные от нуля числа, причем u является знаменателем геометрической прогрессии.

Рассмотрим, далее, свойство геометрической прогрессии. Из определения геометрической прогрессии следует:

где отличные от нуля числа. Тогда

Откуда

Следовательно

(4)

Таким образом имеет место следующее свойство:

Свойство 1. Если последовательность является геометрической прогрессией, то квадрат каджого ее члена, начиная со второго равен произведению предыдующего и последующего членов.

Справедливо и обратное:

Свойство 2. Пусть задана последовательность (a_n) с членами, отличными от нуля. Если для членов последовательности (a_n) справедливо равенство , (), то данная последовательность является геометрической прогрессией.

Действительно. Пусть выполнено равенство (4) при любом n, причем отличные от нуля числа. Тогда . Последнее означает, что отношение любого члена последовательности к предыдующему члену равно одному и тому же числу. А это означает, что эта последовательность геометрическая прогрессия.

Равенство (4) равносильно равенству

т.е. модуль любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, есть среднее геометрическое предыдующего и последующего членов.

Из вышеизложенного можно сформулировать необходимое и достаточное для того,чтобы последовательность являлся геометрической прогрессией:

Свойство 3. Числовая последовательность, члены которой отличны от нуля, является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, есть среднее геометрическое предыдующего и последующего членов (или квадрат каджого ее члена, начиная со второго равен произведению предыдующего и последующего членов).

Свойство 3 называется характеристическим свойством геометрической прогрессии. Это свойство объясняет название "геометрическая прогрессия".

Пример 1. Последовательность a_n геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

(5)

Решение. Так как a_n геометрическая прогрессия, то имеет место следующее равенство:

(6)

Для последовательности (5) можем записать:

(7)

Из (6) и (7), следует, что

т.е. последовательность (5) является геометрической прогрессией.

Пример 2. Последовательность a_n геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

(8)

Решение. Так как a_n геометрическая прогрессия, то имеет место следующее равенство:

(9)

Для последовательности (8) можем записать:

(10)

Из (9) и (10), следует, что

т.е. последовательность (8) является геометрической прогрессией.

Пример 3. Задана геометрическая прогрессия 2, 6, 18, ... . Встретится ли среди них число 486.

Решение. Знаменатель данной геометрической прогрессии равно

n-ый член геометрической прогрессии вычисляется формулой:

(11)

Подставим значения первого члена, знаменателя и число 486 в качестве n-го члена в (11):

или

(12)

Рассмотрим, существует ли натуральное число n такое, что выполнено (12). Подставляя n=6, в (12) получим тождество. Следовательно число 486 встречается среди членов геометрической прогрессии.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

В этом параграфе мы выведем формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии. Пусть (a_n) геометрическая прогрессия и пусть q знаменатель этой прогрессии. Обозначим через S_n сумму первых n членов геометрической прогрессии, т.е.