С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сумму первых n членов арифметической прогрессии при разных начальных данных. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Определение 1. Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которого, начиная со второго равен сумме предыдующего числа и некоторого постоянного числа d.
d- называется разностью прогрессии.
Очевидно, что при d >0 арифметическая прогрессия является возрастающей прогрессией, а при d <0 - убывающей прогрессией. При d =0 все члены прогрессии равны первому члену, т.е. прогрессия стационарна.
Запишем арифметическую прогрессию исходя из определения 1:
![]() ![]() |
(1) |
т.е. любой n-ый член прогрессии можно вычислить аналитически по формуле:
![]() |
(2) |
или рекуррентно по формуле:
![]() |
Формулу (2) запишем так:
![]() |
(3) |
То есть (3) является линейной функцией от n.
Пусть задана следующая арифметическая прогрессия:
![]() |
Очевидно, что , тогда имеем:
![]() ![]() |
или
![]() |
На рис.1 представлена линейная функция y=3x−5 и на ней точками обозначены члены арифметической прогрессии (an): (1;a1), (2;a2), (3;a3), ... Здесь абсциссы точек соответствуют номерам членов арифметической прогрессии, а ординаты точек соответствуют значениям членов прогрессии.
![]() |
Свойство 1. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдующего и последующего членов.
Доказательство. Из определения арифметической прогрессии, имеем:
![]() |
Тогда
![]() |
![]() ![]() |
Свойство 2 (обратное). Если в последовательности каждый член, начиная со второго, является средним арифметическим предыдующего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией.
Доказательство. Пусть
![]() |
Тогда
![]() |
![]() |
(4) |
Из равенства (4) видно, что разность между предыдующими и последующими членами последовательности остаются постоянной. А это значит, что последовательность является арифметической прогрессией.
Из свойств 1 и 2 можно сформулировать необходимое и достаточное для того,чтобы последовательность являлся арифметической прогрессией.
Свойство 3. Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго есть средее арифметическое предыдующего и последующего членов.
Свойство 3 называется характеристическим свойством арифметической прогрессии.
Пример 1. Известно, что арифметическая прогрессия, разность которой равна d. Определить, является ли арифметической прогрессией последовательность ниже, и если да, то определить ее разность:
![]() |
(5) |
Легко заметить, что предыдующый и последующий члены последовательности (5), начиная с − это
и
, соответственно.
Учитывая, что арифметическая прогрессия, можем записать:
![]() |
Тогда
![]() |
(6) |
![]() |
(7) |
Получили
![]() |
![]() |
(8) |
Из равенства (8) и свойства 3 следует, что последовательность (5) является арифметической прогрессией, а из (6) и (7) следует, что разность арифметической прогрессии равно 2d.
Пример 2. Известно, что арифметическая прогрессия, разность которой равна d. Определить, является ли арифметической прогрессией последовательность
![]() |
(9) |
и если да, то определить ее разность.
Решение. Запишем последовательность (9) в следующем виде:
![]() |
Тогда имеем:
![]() ![]() |
![]() ![]() |
(10) |
![]() ![]() |
(11) |
Поскольку арифметическая прогрессия, то
![]() |
(12) |
Из выражений (10)-(12) следует:
![]() |
![]() |
Следовательно последовательность (9) является арифметической прогрессией. Далее определим разность арифметической прогрессии (9). Так как разность арифметической прогрессии равна d, то имеем
![]() |
(13) |
Из (10), (11) и (13) следует, что разность арифметической прогрессии (9) равна −d.
Пример 3. Найти все члены арифметической прогрессии, обозначенные буквами
![]() |
Решение. Имеем:
![]() ![]() |
(14) |
Подставляя значения и
в последнее равенство, получим
![]() |
Вычисляем все члены арифметической прогрессии, обозначенные буквами
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
В этом параграфе мы выведем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии. Для этого докажем, сначала следующее свойство арифметической прогресии:
Свойство 4. Пусть арифметическая прогрессия и пусть
натуральные числа и
. Тогда
.
Доказательство. Пусть d разность прогрессии, тогда
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Следовательно
![]() ![]() |
![]() ![]() |
Поскольку
![]() |
(15) |
получим .
Из доказанного свойства следует, что в конечной арифметической прогресии сумма крайных членов равно сумме членов, равноудаленных от крайных членов.
Действительно. Пусть p и q первый и последний члены конечной арифметической прогрессии и пусть . Тогда
. Перепишем равенство (15) так:
![]() |
т.е.
![]() |
Откуда следует, что в конечной арифметической прогресии сумма крайных членов равно сумме членов, равноудаленных от крайных членов (Рис.2).
![]() |
Теперь выведем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии. Обозначим через Sn сумму первых n членов арифметической прогрессии . Запишем два равенства располагая в первом случае все члены арифметической прогрессии в порядке возрастания, а во втором случае в порядке убывания номеров:
![]() ![]() |
![]() ![]() |
Складывая эти равенства, получим
![]() ![]() ![]() |
Из свойства 4 следует, что
![]() ![]() ![]() |
Тогда получим
![]() |
![]() |
(16) |
Формулу (16) можно записать и в другом виде учитывая, что
![]() |
т.е.
![]() |
(17) |
Рассмотрим примеры применения формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии.
Пример 4. В армфметической прогрессии (an) найти S16, если a3+a14=12 .
Решение. Запишем формулы 3-го и 14-го членов арифметической прогрессии используя формулу (2):
![]() |
![]() |
Сложив эти уравнения, получим:
![]() |
(18) |
Запишем далее формулу суммы первых 16 членов арифметической прогресии используя формулу (17):
![]() |
(19) |
Далее, из (18) и (19) получим:
![]() ![]() |
Ответ: 96.
Пример 5. Известно, что (xn) арифметическая прогрессия, в которой x1=7, x25=63. Найти x13 и сумму членов с тринадцатого до двадцать пятый включительно.
Решение. Запишем фомулу для двадцать пятого члена арифметической прогрессии используя формулу (2):
![]() |
Следовательно:
![]() |
(20) |
Подставим значения в (20):
![]() |
Далее, найдем тринадцатый член арифметической прогресии:
![]() ![]() |
Найдем суммы первых двенадцати и первых двадцати пяти членов арифметической прогрессии:
![]() ![]() |
![]() ![]() |
Сумма членов арифметической прогрессии с тринадцатого до двадцать пятый включительно равна:
![]() |