Числовая последовательность

Определение 1. Числовой последовательностью называется функция, аргументом которой является множество всех натуральных чисел, или множество первых n натуральных чисел.

Обозначается числовая последовательность так:

или

где i-ый член последовательности.

Последовательности можно задавать тремя способами: словестно, аналитически и рекуррентно.

При словестном задании последовательности, описывается из каких элементов она состоит.

Последовательность нечетных чисел:

1,  3,  5,  7,  ...(1)

Последовательность простых чисел :

2,  3,  5,  7, 11,  ...(2)

и т.д.

Последовательности (1) и (2) мы задали словестно.

Последовательность называется заданной аналитически, если указана формула ее n-го члена.

Последовательность нечетных чисел аналитически задается формулой

Действительно. Взяв для n значения 1, 2, 3, ... мы получим последовательность (1).

Отметим, что последовательность простых чисел невозможно задать аналитически.

Последовательность задана рекуррентно, если указан метод вычисления n - го члена, при известных предыдущих членах последовательности.

Пример задания рекуррентной последовательности:

В этой последовательности

Определение 2. Числовая последовательность, в котором все члены равны называется стационарным.

Пример стационарной последовательности:

Возрастающие и убывающие последовательности

Определение 3. Последовательность, в которой каждый последующий член (кроме первого) больше предыдующего, называется возрастающей:

Определение 4. Последовательность, в которой каждый последующий член (кроме первого) меньше предыдующего, называется убывающей:

Возрастающие и убывающие последовательности называются также монотонными последовательностями.

Пример 1. Выяснить, монотонна ли последовательность

.

Решение. Запишем n+1 член последовательности (подставим вместо n, n+1):

.

Найдем разность членов и :

или

.(3)

Так как n=1,2,3,... то правая часть уравнения (3) положительна. Тогда:

или

.

Таким образом, каждый последующий член последовательности больше предыдующего. Следовательно последовательность является возрастающим (и монотонным).

Пример 2. Выяснить, при каких значениях a последовательность (bn) является возрастающей и при каких, убывающей:

.

Решение. Запишем n+1 член последовательности (вместо n подставим n+1):

.

Найдем разность членов и :

или

(4)

Посмотрим на правую часть выражения (4). Если a<10, то . Тогда последовательность является возрастающей. Если a>10, то . Тогда последовательность является убывающей. При a=10 . Последовательность имеет одинаковые члены:

т.е. имеем дело с последовательностью

(5)

Очевидно, что последовательность (5) не является монотонной. Она является стационарной последовательностью.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение 5. Последовательность (yn) называется ограниченной сверху, если существует такое число k, что yn<k при любом n.

Определение 6. Последовательность (yn) называется ограниченной снизу, если существует такое число k, что yn>k при любом n.

Определение 7. Последовательность (yn) называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Пример 3. Показать, что последовательность (an) является монотоннной и ограниченной:

.(5)

Решение. Запишем n+1 член последовательности (вместо n подставим n+1):

.

Найдем разность членов и :

или

(6)

Правая часть равенства (6) положительна при любых натуральных чисел n. Следовательно последовательно (an) возрастающая (и монотонная).

Далее, сделаем эквивалентное преобразование для проследовательности (5):

или

(7)

Из выражения (7) видно, что при любых n an≤1. Т.е. хотя последовательность возрастает, то остается меньше числа 1 (ограничена сверху). Запишем несколько членов данной последовательности, задав n=1,2,3,...

(8)

Так как последовательность возрастающая, то все члены последовательности не меньше . Тогда последовательность ограничена также и снизу. Таким образом последовательность ограничена и всерху, и снизу, т.е. является ограниченной последовательностью.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности:

(9)
(10)

На координатной прямой изобразим члены этих последовательностей:

Как можно заметить из рисунков Рис.1 и Рис.2, члены последовательности , при увеличении n, постепенно приближаются к некоторой точке (в данном случае к точке O), а для последовательности такое не наблюдается. Говорят, что последовательность сходится, а полседовательность расходится.

Предел числовой последовательности

Точка, к которой приближаются члены последовательности при увеличении n, называется пределом последовательности. Для последовательности (10) пределом является число 0. Более строго предел последовательности определяется так:

Определение 8. Число k называют пределом последовательности (yn), если для любой заранее выбранной окресности точки k, можно выбрать такой номер n0, чтобы все члены последовательности, начиная с номера n0 содержались в указанной окрестности.

Если k является пределом последовательности (yn), то пишут ( стремится к k или сходится к k).

Обозначают это так:

.(11)

Выраженние (11) читается так: предел проследовательности , при стремлении n к бесконечности равен k.

Изложим некоторые пояснения к определению 8.

Пусть выполнено (11). Возьмем окрестность точки k, т.е. интервал , где радиус этой окрестности ( >0). По определению, существует номер n0, начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окресности, т.е.

.

Если же взять другую окресность (пусть ), то найдется другой номер n1, начиная с которого, вся последовательность содержится в указанной окрестности, но этот номер будет больше n1 > n0.

Пример 4. Дана полследовательность (yn):

.(12)

Доказать, что .

Решение. Найдем любую окрестность точки 0. Пусть ее радиус равен r. Тогда всегда можно выбирать n0 так, чтобы .

Пусть, например, r=0.001. Вычислим n' из уравнения

.

Имеем:

.

В качестве n0 берем 501. Имеем:

.

или

.(13)

Запишем члены последовательности (12) начиная с номера 501:

.

Далее, учитывая (13), имеем:

.

Следовательно, все члены последовательности (12) начиная с номера 501 попадают в окресность . А по определению 8, это означает:

.

Пример 5. Дана полследовательность (yn):

.(14)

Доказать, что .

Решение. Найдем любую окрестность точки 2. Пусть ее радиус равен r. Тогда всегда можно выбирать n0 так, чтобы

.(15)

Рашим (15) относительно n0:

.
.

Получили

,(16)
.(17)

Неравенство в (17) всегда выполняется так как n0 натуральное число, а правая часть неравенства отрицательно (это означает, что для любого n0). Из неравенства (16) можно найти номер n0, начиная с которого члены последовательности попадают в окресность (2−r; 2+r). Например, пусть r=0.001, тогда . Тогда нужно брать n0=2000. И тогда все члены последовательности, начиная с номера 2000 попадают в окрестность (2−r; 2+r).

Запишем члены последовательности, начиная с номера 2000:

.

Легко проверить, что . Тогда, учитывая, что данная последовательность возрастающая (см. пример 1), получим:

.

Пример 6. Найти предел последовательности

.(18)

Решение. Выполним некоторые преобразования выражения (18):

.

Тогда последовательность (18) можно переписать так:

(19)

Как видно из (19), пройдя по членам последовательности слева направо, из числа 1 вычитается все меньшее и меньшее положительное число. Т.е. последовательность приближается к числу 1. Тогда 1 является пределом последовательности (19) и (18):

.

На Рис. 3 представлена функция . Абсцисы нарисованных точек это номера членов последовательности, а ординаты образуют последовательность (18) (или (19)). Прямая y=1 (горизонтальная пунктирная линия) называется горизонтальной асимптотой. Как видно из Рис.3 последовательность приближается к горизонтальной асимптоте.

Свойства сходящихся последовательностей

Сходящиеся последовательности обладают рядом свойств.

Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится (теорема Вейерштрасса).

Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности:.

Теорема. Если , то

1. Предел суммы равен сумме пределов:

.

2. Предел произведения равен произведению пределов:

.

3. Предел частного равен частному пределов:

(при c≠0).

4. Постоянный множитель можно вывести за знак предела:

.

Пример 7. Найти предел последовательности:

.

Решение. Так как , то

.

Пример 8. Найти предел последовательности:

.

Решение. Применив правило "предел суммы" теоремы, получим

.

Пример 9. Вычислить:

.

Решение. Делим числитель и знаменатель дроби на наивысшую из имеющихся степень переменного n. Далее используем правило "предел суммы" для числителя и знаменателя и правило "предел частного":

.