Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа

Комплексными числами называются выражения вида

a+bi

(1)

где a и b− вещественные числа, i− некоторый символ, удовлетворяющий следующему равенству: i²=−1.

Комплексное число можно представить как упорядоченная пара вещественных чисел.

Определение 1. Комплексными числами называются упорядоченные пары вещественных чисел, для которых понятия равенства, суммы, произведения и отожествления некоторых пар с вещестенными числами подчиняются следующим правилам:

1. Пары (a,b) и (c,d) считаются равными тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты:

2. Суммой пар (a, b) и (c, d) называется пара (a+c, b+d), т.е.

(a,b)+(c,d)= (a+c, b+d).

3. Произведение пар (a, b) и (c, d) называется пара (ac−bd, ad+bc), т.е.

(a,b)(c,d)= (ac−bd, ad+bc).

4. Пара (a, 0) отождествляется с вещественным числом a, т.е. (a, 0)=a.

Правило 4 определения 1 представляет связь между вещественными и комплексными числами. Точнее указывает на то, что множество вещественных чисел является частью комплексных чисел.

Сопоставим правило 4 с 1. Пусть вещественные числа a и c равны, тогда по правилу 4 этим числам соответствуют комплексные числа (a, 0) и (c, 0). Поскольку a=c, имеем (a, 0)=(c, 0), т.е. выполнено правило 1.

Сопоставим правило 4 с 2. Сумма пар (a, 0) и (c, 0) согласно правилу 2 равна (a, 0)+(c, 0)=(a+c, 0), которая, согласно правилу 4 отождествляется с суммой вещественных чисел a и c.

Сопоставим правило 4 с 3. Согласно правилу 3 произведение пар (a, 0) и (c, 0) равно (a, 0)(c, 0)=(ac−0·0, a0+0c)=(ac, 0), которая, согласно правилу 4 отождествляется с произведением вещественных чисел a и c.

Из правил 3 и 4 вытекает следующая формула

m(a, b)=(ma, mb),

где m− любое вещественное число. Действительно m(a, b)=(m, 0)(a, b)=(ma−0b, mb+0a)=(ma, mb).

Проверим теперь, что привычные свойства вещественных чисел сохраняются при переходе к комплексным числам, т.е. комплексные числа образуют поле.

1.(a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b). (коммутативность сложения). Действительно, левая часть равна (a+с,b+d), правая часть равна (с+a,d+b). Из коммутативности сложения вещественных чисел следует, что левая и правая части равны.

2. ((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a,b)+((c,d)+(e,f)) (ассоциативность сложения). Действительно, из ассоциативности сложения вещественных чисел следует, что левая и правая части равны (a+c+e, b+d+f).

3. (a,b)+(0, 0)=(a,b). Следовательно пара (0, 0) (отожествляемая с вещественным числом 0) соответствует нулю при сложении пар.

4. (a,b)+ (−a,−b)=(0, 0). Т.е. для кажддой пары (a,b) существует противоположная пара (−a,−b).

5. (a,b)(c,d)=(c,d)(a,b)(коммутативность множения). Действительно, левая часть равна (ac−bd, ad+bc), правая часть равна (ca−db, da+cb). Следовательно они равны.

6. ((a,b)+(c,d))(e,f)=(a,b)(e,f)+(c,d)(e,f)(левая дистрибутивность).

6'. (e,f)((a,b)+(c,d))=(e,f)(a,b)+(e,f)(c,d)(правая дистрибутивность).

Проверм свойство 6. Левая часть уравнения равна

Правая часть уравнения равна

Следовательно левая и правая части равны.

Из коммутативности умножения следует справедливость свойства 6'.

7. (ассоциативность умножения).

Левая часть равна

Правая часть равна

Левая и правая части равны. Следовательно свойство 7 выполняется.

8. .

Свойство 8 определяет пару (1, 0), которая отожествляется с вещественным числом 1.

Итак из свойств 1−8 следует, что комплексные числа составляют коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

Введем понятие сопряженных комплексных чисел. Пары называются сопряженными, если отличаются знаком второй компоненты. Пары (a,b) и (a,−b) сопряженные пары (сопряженные комплексные числа).

Умножив сопряженные пары

получим, что их произедение равно неотрицательному числу a²+b². Это число, равно нулю тогда и только тогда, когда a=0, b=0, т.е. тогда и только тогда, когда (a,b)=0.

Пусть (a,b)≠0. Тогда

является обратной парой (и обозначается через (a, b)⁻¹), т.е. выполняется следующее равенство

Представим следующее свойство.

9. Для любой пары (a,b) отличной от нуля, существует обратная (a, b)⁻¹:

Итак, свойства 1−9 показывают что комплексные числа образуют поле.

Алгебраическая форма записи комплексного числа

Представим, теперь, комплексное число в алгебаической форме записи. Комплексное число (a,b) можно представить так:

где i=(0, 1).

Из правила 3 определения 1 следует:

Таким образом алгебраическая форма комплексного числа имеет вид:

Первая компонента комплексного числа называется вещественной частью комплексного числа α и обозначается Reα, а вторая компонента называется мнимой частью и обозначается Imα. Отметим, что как вещественная часть (a), так и мнимая часть (b) комплексного числа вещественные числа.

Говоря о комплексных числах надо помнить, что вещественные числа являются частным случаем комплексных, которые имеют нулевую вторую компоненту. К примеру a вещественное число, которое соответствует комплексному числу α=a+0i.

Вычитание и деление комплексных чисел

Вычитание и деление определяются как обратные к действиям сложения и умножения.

Утверждение 1. Пусть α и β − комплексные числа. Тогда существует одно и только одно комплексное число γ=(−α)+β так, что α+γ=β.

Доказательство. Возьмем комплексное число γ=(−α)+β и подставим в уравнение α+γ=β. Имеем α+γ=α+(−α)+β=β. Так что γ=(−α)+β удовлетворяет требованию утверждения.

Обратно. Пусть α+γ=β. Добавим в обе части уравнения число −α. Тогда

Упростим:

Таким образом всякое число, отличное от (−α)+β не удовлетворяет требованию утверждения.

Число (−α)+β является разностью чисел β и α и обозначается β−α.

Утверждение 2. Пусть α и β − комплексные числа и α≠0. Тогда существует одно и только одно комплексное число γ=α⁻¹β так, что αγ=β.

Доказательство. При γ=α⁻¹β, имеем

Еслиαγ=β, то умножив обе части этого уравнения на α⁻¹, получим:

или

Конец доказательства.

Число =α⁻¹β является частным от деления β на α. Частное обычно записывается так: . Как известно значение дроби не меняется при умножении числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число. Поэтому можно записать:

Вычислять частное от деления комплексных чисел удобно умножая числитель и знаменатель на комплексное сопряженное с знаменателем:

где вещественное число.

Например

Для сложения вычитания умножения и деления комплексных чисел, пользуйтесь онлайн калькулятором комплексных чисел.

Геометрическое представление комплексных чисел

Комплексные числа представляются как точки на плоскости. Горизонтальная ось называется действительной осью и обозначается через R, а вертикальная ось − мнимой осью и обозначается через I. Плоскость, точки которой отожествлены с комплексными числами называется комплексной плоскостью. На рис.1 представлено комплексное число α=a+bi. Свяжем с этой точкой вектор исходящий из начала координат в точку, изображающую это комплексное число (назовем этот вектор радиус-вектором этой точки).

Число, противоположное числу α=a+bi будет точкой комплексной плоскости, симметричной с точкой α относительно начала координат (−α=−a−bi).

Сложение и вычитание комплексных чисел можно представить на комплексной плоскости в виде сложения и вычитания радиус векторов соответствующих точек. Сложение векторов α и β выполняется по правилу параллелограма (рис.2).

Вычитание векторов α и β эквивалентна сложению векторов α и −β, поэтому сначала строится противоположная к вектору β, далее слагаются векторы α и −β (рис.3).

Смотрите также: