Тригонометрическая форма комплексного числа

Рассмотрим комплексное число, заданной в обычной (алгебраической) форме:

z=a+ib.

(1)

Задача заключается в представлении комплексного числа (1) в тригонометрической форме. Для этого на комплексной плоскости введем полярные координаты. Примем за полюс начало координат, а за полярную ось вещественную ось R.

Как известно, полярными координатами точки z являются длина r ее радиус-вектора, равной расстоянию от точки z до полюса, и величина ее полярного угла, т.е. угла, образованного между полярной осью и вектором-радиусом точки z. Отметим, что направление отсчета угла берется от полярной оси до вектора-радиуса против часовой стрелки (Рис.1, Рис.2).

На Рис.3 изображено комплексное число z. Координаты этого числа в декартовой системе координат (a, b). Из определения функций sin и cos любого угла, следует:

Откуда имеем:

Подставляя (2) в (1), получим:

Эта форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Уравнения (2) возведем в квадрат и сложим:

Откуда:

r−длина радиус-вектора комплексного числа z называется модулем комплексного числа и обозначается |z|. Очевидно |z|≥0, причем |z|=0 тогда и только тогда, когда z=0.

Величина полярного угла точки, соответвующей комплексному числу z, т.е. угла φ, называется аргументом этого числа и обозначается arg z. Заметим, что arg z имеет смысл лишь при z≠0. Аргумент комплексного числа 0 не имеет смысла.

Аргумент комплексного числа определен неоднозначно. Если φ аргумент комплексного числа, то φ+2πk, k=0,1,... также является аргументом комплексного числа, т.к. cos(φ+2πk)=cosφ, sin(φ+2πk)=sinφ.

Приведение комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую

Пусть комплексное число представлено в алгебраической форме: z=a+bi. Представим это число в тригонометрической форме. Вычисляем модуль комплексного числа: . Вычисляем аргумент φ комплексного числа из выражений или . Полученные значения вставляем в уравнение (3).

Пример 1. Представить комплексное число z=1 в тригонометрической форме.

Решение. Комплексное число z=1 можно представить так: z=1+0i. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=1/1. Откуда имеем φ=0. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: z=1(cos0+isin0).

Ответ. z=1(cos0+isin0).

Пример 2. Представить комплексное число z=i в тригонометрической форме.

Решение. Комплексное число z=i можно представить так: z=0+1i. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=0/1. Откуда имеем φ=π/2. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: .

Ответ. .

Пример 3. Представить комплексное число z=4+3i в тригонометрической форме.

Решение. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=4/5. Откуда имеем φ=arccos(4/5). Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: .

Ответ. , где φ=arccos(4/5).

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи

Пусть заданы комплексные числа z₁=r₁(cosφ₁+i sinφ₁) и z₂=r₂(cosφ₂+i sinφ₂). Перемножим эти числа:

или

В результате умножения комплексных чисел в тригонометрической форме мы получили комплексное число в тригонометрической форме, следовательно |z₁z₂|=r₁r₂, или

т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей.

Далее имеем arg(z₁z₂)=φ₁+φ₂ или

т.е. аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей.

Пример 4. Умножить комплексные числа и .

Решение. Воспользуемся формулой (5):

Ответ. .

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи

Пусть заданы комплексные числа z₁=r₁(cosφ₁+i sinφ₁) и z₂=r₂(cosφ₂+i sinφ₂) и пусть z₂≠0, т.е. r₂≠0. Вычислим z₁/z₂:

Получили

Отсюда следует, что или

Далее , или

Следовательно, модуль частного двух комплексных чисел равен модулю делимого, деленному на модуль делителя, а аргумент частного двух комплексных чисел получается вычитанием аргумента делителя от аргумента делимого.

Пример 5. Делить комплексные числа и .

Решение. Воспользуемся формулой (8):

Ответ. .

Геометрический смысл умножения и деления

На рисунке Рис.4 представлено умножение комплексных чисел z₁ и z₂. Из (6) и (7) следует, что для получения произведения z₁z₂, нужно вектор-радиус точки z₁ повернуть против часовой стрелки на угол φ₂ и растянуть в |z₂| раз (при 0<|z₂|<1 это будет сжатием).

Рассмотрим, теперь, деление комплексного числа z₁z₂ на z₁ (Рис.4). Из формулы (8) следует, что модуль искомого числа равен частному от деления модуля числа z₁z₂ на модуль числа z₁, а аргумент равен: φ₂=φ−φ₁. В результате деления получим число z₂.

Смотрите также: