Поле (математика)

Определение 1. Полем называется коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый отличный от нуля элемент a имеет обратный a^-1 (aa⁻¹=a⁻¹a=1).

Иными словами полем называется множество математических объектов, в котором определены два действия − "сложение" и "умножение", удовлетворяющие следующим требованиям:

1. a+b=b+a   (коммутативность сложения).

2. (a+b)+c=a+(b+c)   (ассоциативность сложения).

3. Существует нулевой элемент 0 такой, что a+0=a, при любом a.

4. Для любого a существует противоположный элемент −a такой, что a+(−a)=0.

5. (a+b)c=ac+bc   (левая дистрибутивность).

5'. c(a+b)=ca+cb   (правая дистрибутивность).

6. (ab)c=a(bc) (ассоциативность умножения).

7. ab=ba (коммутативность умножения).

8. Существование единичного элемента 1, т.е. такого a·1=1·a=a, для любого элемента a.

9. Для любого элемента элемента a существует обратный элемент a⁻¹ такой, что aa⁻¹=a⁻¹a=1.

Примеры полей:

• комплексные числа ℂ,
• вещественные числа ℝ,
• рациональные числа ℚ,
• поле вычетов по модулю p, где p − простое число.

Отметим, что целые числа не образуют поле, т.к. пункт 9 не выполняется.