Векторы

Вектором называется набор n действительных или комплексных чисел. Вектор, записанный в виде

x=		x1
		x2
		...
		xn

называется вектором столбцом, а вектор, записанный в виде

x=(x₁, x₂, ..., x_n),

вектором строкой, где x_i - i-ый элемент вектора x.

Число n называется размерностью вектора.

Если все элементы вектора равны нулю, то вектор называется нулевым вектором.

Два вектора x и y равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы:

x_i=y_i , i=1, 2, ... n.

 

Сложение векторов

Сумма двух векторов x и y определяется вектором z:

z=		x1+y1
		x2+y2
		...
		xn+yn

и записывается как

z=x+y.

Опрерация сложения векторов обладает следующими свойствами:

1. x+y=y+x ( коммутативность).

2.(x+y)+w=x+(y+w) (ассоциативность).

3. x+0=x (наличие нулевого вектора).

4. x+(-x)=0 (наличие противоположного вектора).

 

Умножение вектора на число

Произведением вектора x на число β называется вектор

βx=xβ		βx1		.
		βx2
		...
		βxn

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

1. β(x+y)=βx+βy (дистрибутивность относительно сложения векторов).

2. (α+β)a=αa+βa (дистрибутивность относительно сложения чисел).

3. α(βa)=(αβ)a (ассоциативность).

4. 1⋅a=a (умножение на единицу).

 

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение (x,y) векторов x и y определяется соотношением:

(x,y) =	n
	∑	xi yi
	i=1

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. (x,y) = (y,x) ( коммутативность) .

2. (x,y+z)=(x,y)+(x,z) (дистрибутивность относительно сложения векторов).

3. λ(x,y)=(λx,y)=(x,λy) (ассоциативность относительно умножения на число).

 

Ортогональность векторов

Два вещественных вектора называются ортогональными, если они удовлетворяют соотношению

(x,y)=0.

 

Линейная зависимость векторов

Векторы x, y, ..., z называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа α, β, ..., γ, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что справедливо равенство:

Векторы x, y, ..., z называются линейно независимыми векторами, если из равенства (1) следует, что

α=β= ...= γ=0.