С помощю этого онлайн калькулятора можно найти решение (корни) квадратного уравнения. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения решений квадратного уравнения введите коэффициенты уравнения и нажмите на кнопку "Решить". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Квадратным уравнением называется уравнение следующего вида:
| ax2+bx+c=0, | (1) |
где x−переменная, а a, b, c некоторые числа (a≠0). Числа a, b, c называются коэффициентами квадратного уравнения. Коэффицинт c называется свободным членом.
Если a=1, то квадратное уравнение называется приведенным. Заметим, что любое квадратное уравнение можно привести к приведенному виду, разделив обе части уравнения на a. Действительно:
 |
(2) |
Если в квадратном уравнении (1) один из коэффициентов b, c равен нулю или оба коэффициента b, c равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным.
Рассмотрим разные виды неполных квадратных уравнений.
1. При b=0 имеем:
| ax2+c=0. | (3) |
Для решения этого уравнения свободный член перенесем в правую часть уравнения:
 |
Решая последнее уравнение относительно x получим корни квадратного уравнения (3):
 , |
Если 
, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
2. При c=0 имеем:
| ax2+bx=0, |
Разложим левую часть последнего уравнения на множители:
| x(ax+b)=0, | (4) |
Из (4) следует x=0 или ax+b=0. Следовательно имеем следующие решения:
 |
3. При b=0, c=0 имеем:
| ax2=0, |
и, следовательно
| x=0. |
Рассмотрим, далее, алгоритм решения квадратных уравнений общего вида (1). Разделим обе части уравнения на a:
 |
(5) |
Сделаем эквивалентные преобразования уравнения (5):
  |
(6) |
Легко догадаться, что первые три слагаемые уравнения (6) образуют квадрат следующей суммы:
 |
Тогда
 |
 |
(7) |
Обозначим
| D=b2−4ac. | (8) |
D− называется дискриминантом квадратного уравнения (1). Так как a≠0, то 4a2>0. Знак правой части уравнения (7) определяется знаком дискриминанта D.
Учитывая (8) запишем (7) в следующем виде:
 |
(9) |
При решении последнего уравнения возможны следующие варианты:
1. При D>0, имеем
 или  |
 или  |
Таким образом, при D>0, квадратное уравнение (1) имеет две корни:
 ,  |
2.При D=0, имеем
 |
То есть, при D=0 квадратное уравнение (1) имеет единственный корень:
 |
3. При D<0, правая часть уравнения (9) отрицательна, а так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то квадратное уравнение (1) не имеет корней.
Пример 1. Решить квадратное уравнение
 . |
(10) |
Решение. Запишем коэффициенты квадратного уравнения (10):
 |
Вычислим дискриминант квадратного уравнения:
 . |
Дискриминант положительное число. Следовательно квадратное уравнение (10) имеет два решения.
Найдем решение квадратного уравнения используя следующую формулу:
 . |
(11) |
Подставляя значения коэффициентов a, b, c, D в (11), получим:
 , |
 . |
Ответ:
| x1=3, x2=−4 |
Пример 2. Решить следующее квадратное уравнение:
 . |
(12) |
Решение. Запишем коэффициенты квадратного уравнения (12):
 |
Вычислим дискриминант квадратного уравнения:
 . |
Дискриминант равен нулю. Следовательно квадратное уравнение (12) имеет единственное решение. Найдем решение квадратного уравнения используя следующую формулу:
| . |
(13) |
Подставляя значения коэффициентов a, b, c, D в (13), получим:
 , |
Ответ:
 . |
Пример 3. Решить следующее квадратное уравнение:
 . |
(14) |
Решение. Запишем коэффициенты квадратного уравнения (14):
 |
Вычислим дискриминант квадратного уравнения:
 . |
Дискриминант отрицательное число. Следовательно квадратное уравнение (14) не имеет действительных корней.
Ответ: Квадратное уравнение не имеет действительных корней.