Данный онлайн калькулятор находит решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Крамера. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество переменных. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку "Вычислить."
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Метод Крамера − это метод решения квадратной системы линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы. Такая система линейных уравнений имеет единственное решение.
Пусть задана следующая система линейных уравнений:
 |
(1) |
Заменим данную систему (1) эквивалентным ей матричным уравнением
| Ax=b | (2) |
где A -основная матрица системы:
 |
(3) |
а x и b − векторы столбцы:
 |
первый из которых нужно найти, а второй задан.
Так как мы предполагаем, что определитель Δ матрицы A отличен от нуля, то существует обратная к A матрица A-1. Тогда умножая тождество (2) слева на обратную матрицу A-1, получим:
| A-1Ax=A-1b. |
Учитывая, что произведение взаимно обратных матриц является единичной матрицей (A-1A=E), получим
| x=A-1b. | (4) |
Обратная матрица имеет следующий вид:
 |
(5) |
где Aij − алгебраическое дополнение матрицы A, Δ − определитель матрицы A.
Из (4) и (5) имеем:
 |
или
 |
где Δi − это определитель матрицы, полученной из матрицы A, заменой столбца i на вектор b.
Мы получили формулы Крамера:
 |
Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Крамера
Пример 1.Решить следующую систему линейных уравнений методом Крамера:
 |
Запишем ее в матричной форме: Ax=b, где
 . |
Вычислим определитель основной матрицы A:
    . |
Заменим столбец 1 матрицы A на вектор столбец b:
 . |
Вычислим определитель матрицы A1:
    . |
Заменим столбец 2 матрицы A на вектор столбец b:
 . |
Вычислим определитель матрицы A2:
    . |
Заменим столбец 3 матрицы A на вектор столбец b:
 . |
Вычислим определитель матрицы A3:
    . |
Решение системы линейных уравнений вычисляется так:
 |
Ответ:
   |
Пример 2. Решить следующую систему линейных уравнений методом Крамера:
 |
Запишем ее в матричной форме: Ax=b, где
 |
Найдем определитель матрицы A. Для вычисления определителя матрицы, приведем матрицу к верхнему треугольному виду.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3,4 со строкой 1, умноженной на -1/4,-3/4,-2/4 соответственно:
 |
Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 2. Для этого меняем местами строки 2 и 4. При этом меняется знак определителя на "−".
 |
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 3,4 со строкой 2, умноженной на -26/76,2/76 соответственно:
 |
Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 3. Для этого меняем местами строки 3 и 4. При этом меняется знак определителя на "+".
 |
Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -817/1159:
 |
Мы привели матрицу к верхнему треугольному виду. Определитель матрицы равен произведению всех элементов главной диагонали:
 |
Заменим столбец 1 матрицы A на вектор столбец b:
 |
Для вычисления определителя матрицы A1, приведем матрицу к верхнему треугольному виду, аналогично вышеизложенной процедуре. Получим следующую матрицу:
 |
Определитель матрицы равен произведению всех элементов главной диагонали:
 |
Заменяем столбец 2 матрицы A на вектор столбец b, приводим матрицу к верхнему треугольному виду и вычисляем определитель матрицы:
 ∼ |
 |
Заменяем столбец 3 матрицы A на вектор столбец b, приводим матрицу к верхнему треугольному виду и вычисляем определитель матрицы:
 ∼ |
 |
Заменяем столбец 4 матрицы A на вектор столбец b, приводим матрицу к верхнему треугольному виду и вычисляем определитель матрицы:
 ∼ |
 |
Решение системы линейных уравнений вычисляется так:
 |
Ответ:
 , , , . |