Углы ромба онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти углы ромба по известным элементам. Для нахождения углов ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку "Вычислить". Теоретическую часть смотрите ниже.

1. Углы ромба через сторону и высоту

Пусть известны сторона и высота ромба (Рис.1).

Покажем, что углы ромба через сторону и высоту вычисляются по формулам

\( \small \alpha= \mathrm{arcsin}\frac{\large h}{\large a} \)(1)
\( \small \beta= 180°-\alpha \)(2)

Из теоремы синусов, имеем:

\(\small \frac{\large h}{\large \sin \alpha}=\frac{\large a}{\large \sin 90°}.\)(3)

Откуда:

\(\small \sin \alpha=\frac{\large h}{\large a}\)(4)

или

\(\small \alpha=\mathrm{arcsin}\frac{\large h}{\large a}\)(5)

Поскольку сумма соседних углов ромба равна 180° (свойство 4 статьи Ромб), то угол β вычисляется из формулы (2).

2. Углы ромба ромба через площадь и высоту

Рассмотрим ромб с высотой h и площадью S (Рис.2).

Покажем, что углы ромба через площадь и высоту вычисляются по формулам:

\( \small \alpha= \mathrm{arcsin}\frac{\large h^2}{\large S}, \)(6)
\( \small \beta= 180°-\alpha . \)(7)

Площадь ромба через сторону и высоту вычисляется из формулы:

\( \small S=a \cdot h. \)(8)

Найдем a из формулы (8) и подставим в (1):

\( \small \alpha= \mathrm{arcsin}\frac{\large h}{\large a}=\mathrm{arcsin}\frac{\large h}{\large \frac{S}{h}} \) \( \small =\mathrm{arcsin}\frac{\large h^2}{\large S} \) (9)

Как отметили в параграфе 1, соседний угол β вычисляется по формуле (7).

3. Углы ромба через площадь и сторону

Пусть известны площадь и сторона ромба (Рис.3).

Чтобы найти формулу углов ромба через площадь и сторону, из формулы (8) найдем h и подставим в (1):

\( \small \alpha= \mathrm{arcsin}\frac{\large h}{\large a}=\mathrm{arcsin}\frac{\large \frac{S}{a}}{\large a} \) \( \small =\mathrm{arcsin}\frac{\large S}{\large a^2} .\)

Следовательно угол α ромба через площадь и сторону вычисляется из формулы:

\( \small \alpha =\mathrm{arcsin}\frac{\large S}{\large a^2}. \) (10)

Как отметили выше, соседний угол β вычисляется по формуле (7).

4. Углы ромба через диагонали

Пусть известны диагонали d1 и d2 ромба (Рис.4). Выведем формулу вычисления углов α и β ромба.

Высота ромба через диагонали вычисляется по формуле:

\(\small h=\frac{\large d_1d_2}{\large \sqrt{d_1^2+d_2^2}}.\)(11)

Сторона ромба через диагонали вычисляется по формуле:

\(\small a=\frac{\large \sqrt{d_1^2+d_2^2}}{\large 2}.\)(12)

Подставляя (11) и (12) в (4), получим:

\(\small \sin \alpha=\frac{\large h}{\large a}\) \( \small =\frac{\frac{\large d_1d_2}{\large \sqrt{d_1^2+d_2^2}}}{\frac{\large \sqrt{d_1^2+d_2^2}}{\large 2}} \) \( \small =\frac{\large 2d_1d_2}{\large d_1^2+d_2^2} .\)(13)

Откуда:

\(\small \alpha=\mathrm{arcsin} \frac{\large 2d_1d_2}{\large d_1^2+d_2^2} .\)(14)

Как отметили выше, соседний угол β вычисляется по формуле (7).

5. Углы ромба через сторону и диагональ

Пусть известны сторона a=AB ромба и диагональ d=AC (Рис.5).

Найдем углы ромба. Учитывая свойства 5, 6 и 7 ромба, получаем, что треугольник AOB прямоугольный и \( \small \angle ABO =\frac{\alpha}{2} .\) Тогда для треугольника AOB имеют места следующие равненства:

\(\small \frac{\large AO}{\large a}=sin \frac{\alpha}{2},\)
\(\small \frac{\large AO}{\large a}=cos \frac{\beta}{2}\)

или

\(\small \sin \frac{\alpha}{2}=\frac{\large d}{\large 2a}\)(15)
\(\small \cos \frac{\beta}{2}=\frac{\large d}{\large 2a }.\)(16)

Формулы половинного угла для синуса и косинуса имеют следующий вид:

\(\small \sin \frac{\alpha}{2}=±\sqrt{\frac{\large 1-cos \alpha}{\large 2 }},\)(17)
\(\small cos\frac{\beta}{2}=±\sqrt{\frac{\large 1+cos \beta}{\large 2 }}.\)(18)

Найдем из формул (17),(18) \( \small \cos \alpha \) и \( \small \cos \beta: \)

\(\small \cos \alpha=1-2\cdot \sin^2 \frac{\alpha}{2},\)(19)
\(\small \cos \beta=2\cdot \sin^2 \frac{\beta}{2}-1,\)(20)

Подставляя (15),(16) в (19),(20), получим формулы углов ромба через сторону и диагональ:

\(\small \cos \alpha=1- \frac{\large d^2}{\large 2a^2},\)(21)
\(\small \cos \beta=\frac{\large d^2}{\large 2a^2}-1.\)(22)

или

\(\small \alpha=\mathrm{arccos} \left(1- \frac{\large d^2}{\large 2a^2} \right),\)(23)
\(\small \beta=\mathrm{arccos} \left( \frac{\large d^2}{\large 2a^2}-1 \right).\)(24)

Отметим, что полученный угол α находится напротив диагонали d, а угол β делится диагональю d на две равные части.

6. Углы ромба через сторону и радиус вписанной окружности

Пусть известны сторона ромба и радиус вписанной окружности (Рис.6). Найдем углы ромба.

В статье Высота ромба мы вывели формулу высоты ромба через радиус вписанной октужности:

\(\small h=2 \cdot r.\)(25)

Подставляя (25) в (4) и (5) параграфа 1 данной статьи, получим:

\(\small \sin \alpha=\frac{\large 2 \cdot r}{\large a}\)(26)
\(\small \alpha=\mathrm{arcsin}\frac{\large 2 \cdot r}{\large a}\)(27)

Как отметили выше, соседний угол β ромба вычисляется по формуле:

\( \small \beta= 180°-\alpha . \)